Zerlegung in Linearfaktoren < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:16 Di 24.01.2006 | | Autor: | schorse |
| Aufgabe | Wie sieht die Zerlegung des folgenden Polynoms in Linearfaktoren aus?
$f(x) = [mm] x^5+x$ [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt
Da bin ich schon wieder..der Verzweifelte!!!
Ich habe versucht dieses Polynom durch das Horner- Schema zu lösen.
Die Nullstelle liegt laut meinem Taschenrechner bei 0.
Daraus ergibt sich nach meiner Rechnung folgendes Schema:
1 0 0 0 1 0
0 - 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 0 [mm] \Rightarrow: x^4+0x^3+0x²+0x+1
[/mm]
1 0 0 0 1
0 - 0 0 0 0
1 0 0 0 1 [mm] \Rightarrow: x^3+0x²+0x+1/(x-0)
[/mm]
Wenn das so stimmt, komme ich nicht weiter. Ich muß das doch so lange machen bis ich x² vorne stehen habe, damit ich die p-q-Formel anwenden kann.
Was mache ich nun mit dem Rest also (1/(x-0))???
Oder ist der Ansatz schon völliger Käse???
Die Lösung soll lauten: f(x) = x( x-1/ [mm] \wurzel{2}- [/mm] 1/ [mm] \wurzel{2}i)* [/mm] ( x+1/ [mm] \wurzel{2}- [/mm] 1/ [mm] \wurzel{2}i)* [/mm] ( x+1/ [mm] \wurzel{2}+1/ \wurzel{2}i)* [/mm] ( x-1/ [mm] \wurzel{2}+ [/mm] 1/ [mm] \wurzel{2}i)
[/mm]
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Jedes reelle Polynom zerfällt reell in lineare oder reell irreduzible quadratische Polynome. Da nun [mm]x^4 + 1[/mm] keine reelle Nullstelle besitzt, muß es in zwei reelle quadratische Polynome zerfallen. Versuche es mit dem Ansatz
[mm]\left( x^2 + px + 1 \right) \left( x^2 + qx + 1 \right) = x^4 + 1[/mm]
Multipliziere die linke Seite aus, bringe sie auf Polynomgestalt und führe einen Koeffizientenvergleich durch. Du bekommst zwei Gleichungen, aus denen du [mm]p,q[/mm] bestimmen kannst.
Wenn du das hast, mußt du nur noch zwei reelle quadratische Gleichungen lösen. Wie das geht, sollte klar sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:49 Di 24.01.2006 | | Autor: | schorse |
Ja alles klar vielen Dank.
Jetzt werd ich's wohl hin bekommen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:55 Mi 25.01.2006 | | Autor: | schorse |
Guten Morgen, da bin ich wieder!
Irgendwie habe ich das doch nicht ganz verstanden!!!
Also: Wenn ich die linke Seite ausmultipliziere so erhalte ich(glaub ich):
[mm] x^4+pqx^3+2pqx²+pqx+1
[/mm]
oder ?
Dieses ist doch nun die Polynomgestalt oder?
Wenn ja: Wie stelle ich dann den Koeffizientenvergleich an?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:21 Mi 25.01.2006 | | Autor: | Paulus |
> Guten Morgen, da bin ich wieder!
> Irgendwie habe ich das doch nicht ganz verstanden!!!
> Also: Wenn ich die linke Seite ausmultipliziere so erhalte
> ich(glaub ich):
>
> [mm]x^4+pqx^3+2pqx²+pqx+1[/mm]
>
> oder ?
Ich habe erhalten:
[mm] $x^4+(p+q)x^3+(pq+2)x^2+(p+q)x+1$
[/mm]
> Dieses ist doch nun die Polynomgestalt oder?
> Wenn ja: Wie stelle ich dann den Koeffizientenvergleich
> an?
>
Nun, das soll ja für alle x dieses sein: [mm] $x^4+1$
[/mm]
Wenn das wirklich für alle x gelten soll, dann muss für jeden Koeffizienten die Übereinstimmung vorliegen.
Schau also diese Gleichung an:
[mm] $x^4+(p+q)x^3+(pq+2)x^2+(p+q)x+1=x^4+1$
[/mm]
Oder (aus didaktischen Gründen):
[mm] $x^4+(p+q)x^3+(pq+2)x^2+(p+q)x+1=x^4+0x^3+0x^2+0x+1$
[/mm]
und stelle diese Gleichungen auf:
$p+q = 0$ (das ist der Koeffizient bei [mm] $x^3$)
[/mm]
$pq+2 = 0$ (das ist der Koeffizient bei [mm] $x^2$)
[/mm]
$p+q = 0$ (das ist der Koeffizient bei [mm] $x^1$)
[/mm]
Dieses Gleichungssystem hast du nach p und q aufzulösen.
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