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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:08 Do 02.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Berechnen Sie die LR- (ohne Pivoting) und die Choleksy-Zerlegung der Matrix
[mm] A=\pmat{1 & 1 & 3 \\ 1 & 5 & 3 \\ 3 & 3 & 10}.
[/mm]
Besteht ein Zusammenhang zwischen diesen Zerlegungen?
Berechnen Sie nun die QR-Zerlegung von A und die Cholesky-Zerlegung der Matrix [mm] B=A^{T}A. [/mm] Besteht ein Zusammenhang zwischen diesen Zerlegungen? |
Hallo,
ich kann keine wirklichen Zusammenhänge erkennen.
So, wie die Frage formuliert ist, gehe ich aber davon aus, dass es sehr wohl Zusammenhänge gibt.
Sieht die jemand?
Also hier die Zerlegungen (Ergebnisse), die langwierigen Rechenwege erspare ich mir einfach mal:
Die LR-Zerlegung von A :
[mm] A=\underbrace{\pmat{1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1}}_{=:L}*\underbrace{\pmat{1 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1}}_{=:R}
[/mm]
Die Cholesky-Zerlegung von A :
[mm] A=\underbrace{\pmat{1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 1}}_{=:L}*\underbrace{\pmat{1 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1}}_{=:L^{T}}
[/mm]
Wo ist hier ein Zusammenhang (wenn es denn einen gibt)? Mir fällt nur auf, dass sich die Matrizen jeweils nur im zweiten Diagonalelement unterscheiden.
Zum zweiten Teil der Aufgabe:
Cholesky-Zerlegung von B :
[mm] B=A^{T}A=\underbrace{\pmat{\wurzel{11} & 0 & 0 \\ \bruch{15*\wurzel{11}}{11} & \bruch{4*\wurzel{110}}{11} & 0 \\ \bruch{36*\wurzel{11}}{11} & \bruch{-3*\wurzel{110}}{110} & \bruch{\wurzel{10}}{10}}}_{=:L}*\underbrace{\pmat{\wurzel{11} & \bruch{15*\wurzel{11}}{11} & \bruch{36*\wurzel{11}}{11} \\ 0 & \bruch{4*\wurzel{110}}{11} & \bruch{-3*\wurzel{110}}{110} \\ 0 & 0 & \bruch{\wurzel{10}}{10}}}_{=:L^{T}}=\pmat{3,317 & 0 & 0 \\ 4,523 & 3,814 & 0 \\ 10,854 & -0,286 & 0,316}*\pmat{3,317 & 4,523 & 10,854 \\ 0 & 3,814 & -0,286 \\ 0 & 0 & 0,316}
[/mm]
QR-Zerlegung von A :
[mittels Householderverfahren ]
[mm] A=\underbrace{\pmat{0,302 & -0,095 & -0,94 \\ 0,302 & 0,953 & 0 \\ 0,905 & -0,286 & 0,316}}_{=:Q}*\underbrace{\pmat{3,317 & 4,523 & 10,854 \\ 0 & 3,814 & -0,286 \\ 0 & 0 & 0,316}}_{=:R}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:22 Do 02.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
Dieses Skript [ca. ab Seite 160] hat mir sehr geholfen, die Zerlegungen hinzubekommen:
http://www.fh-aachen.de/uploads/media/num1a1b.pdf
Und was ich nicht verstanden habe, hat dieser Link gerettet:
http://www.bluebit.gr/matrix-calculator/calculate.aspx
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:49 Do 02.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
Okay, danke.
Aber mehr ist da doch wirklich nicht zu erkennen, oder?
[Komische Aufgabe!]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:44 Do 02.12.2010 | | Autor: | abakus |
> Berechnen Sie die LR- (ohne Pivoting) und die
> Choleksy-Zerlegung der Matrix
>
> [mm]A=\pmat{1 & 1 & 3 \\ 1 & 5 & 3 \\ 3 & 3 & 10}.[/mm]
>
> Besteht ein Zusammenhang zwischen diesen Zerlegungen?
>
> Berechnen Sie nun die QR-Zerlegung von A und die
> Cholesky-Zerlegung der Matrix [mm]B=A^{T}A.[/mm] Besteht ein
> Zusammenhang zwischen diesen Zerlegungen?
>
> Hallo,
>
> ich kann keine wirklichen Zusammenhänge erkennen.
> So, wie die Frage formuliert ist, gehe ich aber davon aus,
> dass es sehr wohl Zusammenhänge gibt.
> Sieht die jemand?
>
> Also hier die Zerlegungen (Ergebnisse), die langwierigen
> Rechenwege erspare ich mir einfach mal:
>
> Die LR-Zerlegung von A :
>
> [mm]A=\underbrace{\pmat{1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1}}_{=:L}*\underbrace{\pmat{1 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1}}_{=:R}[/mm]
>
> Die Cholesky-Zerlegung von A :
>
> [mm]A=\underbrace{\pmat{1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 1}}_{=:L}*\underbrace{\pmat{1 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1}}_{=:L^{T}}[/mm]
>
> Wo ist hier ein Zusammenhang (wenn es denn einen gibt)? Mir
> fällt nur auf, dass sich die Matrizen jeweils nur im
> zweiten Diagonalelement unterscheiden.
...und 1*4=2*2.
>
>
> Zum zweiten Teil der Aufgabe:
>
> Cholesky-Zerlegung von B :
>
> [mm]B=A^{T}A=\underbrace{\pmat{\wurzel{11} & 0 & 0 \\ \bruch{15*\wurzel{11}}{11} & \bruch{4*\wurzel{110}}{11} & 0 \\ \bruch{36*\wurzel{11}}{11} & \bruch{-3*\wurzel{110}}{110} & \bruch{\wurzel{10}}{10}}}_{=:L}*\underbrace{\pmat{\wurzel{11} & \bruch{15*\wurzel{11}}{11} & \bruch{36*\wurzel{11}}{11} \\ 0 & \bruch{4*\wurzel{110}}{11} & \bruch{-3*\wurzel{110}}{110} \\ 0 & 0 & \bruch{\wurzel{10}}{10}}}_{=:L^{T}}=\pmat{3,317 & 0 & 0 \\ 4,523 & 3,814 & 0 \\ 10,854 & -0,286 & 0,316}*\pmat{3,317 & 4,523 & 10,854 \\ 0 & 3,814 & -0,286 \\ 0 & 0 & 0,316}[/mm]
>
> QR-Zerlegung von A :
>
> [mittels Householderverfahren ]
>
> [mm]A=\underbrace{\pmat{0,302 & -0,095 & -0,94 \\ 0,302 & 0,953 & 0 \\ 0,905 & -0,286 & 0,316}}_{=:Q}*\underbrace{\pmat{3,317 & 4,523 & 10,854 \\ 0 & 3,814 & -0,286 \\ 0 & 0 & 0,316}}_{=:R}[/mm]
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 Fr 03.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | | Erkennt noch jemand weitere Zusammenhänge? |
Das bisher Gefundene erscheint mir ein bisschen mager.
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Hallo dennis2,
> Erkennt noch jemand weitere Zusammenhänge?
> Das bisher Gefundene erscheint mir ein bisschen mager.
>
Schreibe die Matrizen L und R so:
[mm]L=\underbrace{\pmat{1 & 0 & 0 \\ \* & 1 & 0 \\ \* & \* & 1}}_{L'}*\underbrace{\pmat{\* & 0 & 0 \\ 0 & \* & 0 \\ 0 & 0 & \*}}_{D_{1}}[/mm]
[mm]R=\underbrace{\pmat{\* & 0 & 0 \\ 0 & \* & 0 \\ 0 & 0 & \*}}_{D_{2}}*\underbrace{\pmat{1 & \* & \* \\ 0 & 1 & \* \\ 0 & 0 & 1}}_{R'}[/mm]
Dann muss gelten:
[mm]A=L'*D_{1}*D_{2}*R'=L_{c}*L_{c}^{T}[/mm]
[mm]L_{c}[/mm] ist die Matrix der Cholesky-Zerlegung.
Damit solltest Du jetzt etwas erkennen.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:56 Sa 04.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
Vielen Dank!
Dann ist die Frage nach den Zusammenhängen also viel allgemeiner gemeint.
[Darauf wäre ich nie gekommen, also nochmal: DANKE.]
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