Zerlegungssumme von (0,5x²+1) < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:29 Di 08.08.2006 | | Autor: | Spyro |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie [mm] \integral_{0}^{2}{(0,5x²+1) dx} [/mm] |
Die Aufgabe soll mit Ober- oder Untersumme gelöst werden, wobei mir Obersumme gerade lieber wäre :)
Meine bisherige Vorgehensweise:
dx = [mm] \bruch{b-a}{n} [/mm] = [mm] \bruch{2-0}{n} [/mm] = [mm] \bruch{2}{n}
[/mm]
[mm] O_{n}=f(x_{1})\*dx [/mm] + [mm] f(x_{2})\*dx [/mm] + [mm] f(x_{3})\*dx [/mm] + ... + [mm] f(x_{n})\*dx
[/mm]
[mm] O_{n}=dx[f(x_{1}) [/mm] + [mm] f(x_{2}) [/mm] + [mm] f(x_{3}) [/mm] + ... + [mm] f(x_{n})]
[/mm]
[mm] O_{n}= \bruch{2}{n}[f(x_{1}) [/mm] + [mm] f(x_{2}) [/mm] + [mm] f(x_{3}) [/mm] + ... + [mm] f(x_{n})]
[/mm]
für [mm] x_{1} [/mm] = [mm] 1\*\bruch{2}{n} [/mm] , [mm] x_{2} [/mm] = [mm] 2\*\bruch{2}{n} [/mm] , ... , [mm] x_{n} [/mm] = [mm] n\*\bruch{2}{n} [/mm] ergibt sich
[mm] O_{n}= \bruch{2}{n}[ (0,5(1\*\bruch{2}{n})^2+1)+(0,5(2\*\bruch{2}{n})^2+1)+(0,5(3\*\bruch{2}{n})^2+1)+...+(0,5(n\*\bruch{2}{n})^2+1)]
[/mm]
und ab jetzt komm ich auf keinen grünen Zweig mehr.
Ausklammern bringt mir komische Terme á la [mm] 0,5\*((\bruch{2}{n})^2\*(1)^2+\bruch{2}{(\bruch{2}{n})^2})
[/mm]
Kann mir jemand weiterhelfen?
Gruss,
Spyro
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:09 Di 08.08.2006 | | Autor: | Docy |
Hallo Spyro,
du kannst hier vorklammern:
[mm] \bruch{2}{n}(0.5(\bruch{2}{n})^{2})(n+(1^{2}+2^{2}+...+n^{2}))
[/mm]
dann brauchst du nur noch die Formel:
[mm] 1^{2}+ 2^{2}+...+n^{2} [/mm] = [mm] \bruch{n}{6}(n+1)(2n+1)
[/mm]
Die setzt du dann oben ein, vereinfachst noch ein bisschen und bildest dann den limes.
Wenn noch was unklar sein sollte, frag ruhig nochmal nach.
Gruß
Docy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Di 08.08.2006 | | Autor: | Spyro |
Wenn ich deine Antwort richtig verstanden habe, dann schaust du welcher Term n-mal vorkommt, richtig?
Ich hab versucht deine Lösung nochmal in meine Denkstrukturen umzutextet und dabei ist folgendes rausgekommen:
[mm] O_{n}= \bruch{2}{n}[ (0,5(1*\bruch{2}{n})^2+1)+(0,5(2*\bruch{2}{n})^2+1)+(0,5(3*\bruch{2}{n})^2+1)+...+(0,5(n*\bruch{2}{n})^2+1)]
[/mm]
entspricht:
[mm] O_{n}= \bruch{2}{n}[ (0,5*1^2*(\bruch{2}{n})^2+1)+(0,5*2^2*(\bruch{2}{n})^2+1)+(0,5*3^2*(\bruch{2}{n})^2+1)+...+(0,5*n^2*(\bruch{2}{n})^2+1)]
[/mm]
hier kommt das [mm]+1[/mm] n-mal vor, also schreibe ich:
[mm] O_{n}= \bruch{2}{n}[ ((0,5*1^2*(\bruch{2}{n})^2)+(0,5*2^2*(\bruch{2}{n})^2)+(0,5*3^2*(\bruch{2}{n})^2)+...+(0,5*n^2*(\bruch{2}{n})^2))+n*1]
[/mm]
die Abfolge von [mm](1^2+2^2+3^2+...+n^2)[/mm] kann ich rausziehen und habe dann dastehen:
[mm] O_{n}= \bruch{2}{n}[ (0,5*(\bruch{2}{n})^2)*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+n*1]
[/mm]
Kannst du mir jetzt noch erklären, wie ich zu deiner Klammerschreibweise komme? Wenn ich nämlich nach Punkt-vor-Strich rechne mit meinem Ergebnis, dann kommt folgendes raus:
[mm] O_{n}=\bruch{4+6n+\bruch{6}{n}+\bruch{2}{n^3}}{3}
[/mm]
nun ja... und davon der Limes für n gegen unendlich geht dann wohl ins nirgendwo ^^
Gruss,
Spyro
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Hallo Spyro,
> Wenn ich deine Antwort richtig verstanden habe, dann
> schaust du welcher Term n-mal vorkommt, richtig?
>
> Ich hab versucht deine Lösung nochmal in meine
> Denkstrukturen umzutextet und dabei ist folgendes
> rausgekommen:
>
> [mm]O_{n}= \bruch{2}{n}[ (0,5(1*\bruch{2}{n})^2+1)+(0,5(2*\bruch{2}{n})^2+1)+(0,5(3*\bruch{2}{n})^2+1)+...+(0,5(n*\bruch{2}{n})^2+1)][/mm]
>
> entspricht:
>
> [mm]O_{n}= \bruch{2}{n}[ (0,5*1^2*(\bruch{2}{n})^2+1)+(0,5*2^2*(\bruch{2}{n})^2+1)+(0,5*3^2*(\bruch{2}{n})^2+1)+...+(0,5*n^2*(\bruch{2}{n})^2+1)][/mm]
>
> hier kommt das [mm]+1[/mm] n-mal vor, also schreibe ich:
>
> [mm]O_{n}=\bruch{2}{n}((0,5*1^2*(\bruch{2}{n})^2)+(0,5*2^2*(\bruch{2}{n})^2)+(0,5*3^2*(\bruch{2}{n})^2)+...+(0,5*n^2*(\bruch{2}{n})^2))+n*1][/mm]
>
> die Abfolge von [mm](1^2+2^2+3^2+...+n^2)[/mm] kann ich rausziehen
> und habe dann dastehen:
>
> [mm]O_{n}= \bruch{2}{n}[ (0,5*(\bruch{2}{n})^2)*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+n*1][/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Docy schrieb nun weiter: $ [mm] 1^{2}+ 2^{2}+...+n^{2} [/mm] = [mm] \bruch{n}{6}(n+1)(2n+1) [/mm] $
also setzt du den Bruch nur für die Riesensumme ein, nicht für das Ganze!
[mm]O_{n}= \bruch{2}{n} [(0,5*(\bruch{2}{n})^2)* \underbrace{(1^2+2^2+3^2+...+n^2)}_{\bruch{n}{6}(n+1)(2n+1)}+n*1][/mm]
Kommst du jetzt allein weiter?
Gruß informix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:58 Mi 09.08.2006 | | Autor: | Spyro |
So...
beim Lösen der Gleichung hatte sich bei mir ein Rechenfehler eingeschlichen... Kommando zurück, es stimmt alles!
noch als Ergänzung:
@informix
jup, das mit dem Einsetzen war mir klar :) Ich hatte (siehe oben) nur einen Rechenfehler nach dem Einsetzen und Auflösen.
Trotzdem danke dir für die Anmerkung!
... Ach ja und ich hab es jetzt gelöst bekommen :) *Freude*
schönen Abend noch!
Gruss,
Spyro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:16 Mi 09.08.2006 | | Autor: | Docy |
Oh sorry, hab mich da vertan. Erster Term sollte folgendermaßen lauten:
[mm] \bruch{2}{n}(0.5(\bruch{2}{n})^{2})(1^{2}+2^{2}+...+n^{2})+\bruch{2}{n}n
[/mm]
Gruß
Docy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:41 Mi 09.08.2006 | | Autor: | informix |
> Oh sorry, hab mich da vertan. Erster Term sollte
> folgendermaßen lauten:
>
Das hatten wir vorher auch schon, wenn man die eckige Klammer nicht übersieht. 
[mm]\bruch{2}{n}(0.5(\bruch{2}{n})^{2})\underbrace{(1^{2}+2^{2}+...+n^{2})}_{= \bruch{n}{6}(n+1)(2n+1) }+\bruch{2}{n}n[/mm]
jetzt siehst du genauer, wo du die Ersetzung vornehmen musst.
jetzt noch ein wenig kürzen und den Grenzwert $n [mm] \rightarrow \infty$ [/mm] bilden und - fertig.
Gruß informix.
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