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Forum "Zahlentheorie" - Zeta–Nullstellen–Primzahlen
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Zeta–Nullstellen–Primzahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:12 So 07.11.2010
Autor: hawkingfan

Aufgabe
Gibt es einen Zusammenhang zwischen der Verteilung der Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion auf der kritischen Gerade Re=1/2 und der Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen größer?

Entsprechen die Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion auf der kritischen Gerade Re(s)=1/2 in irgend einer einigermaßen direkten Weise den Primzahlen unter einer gegebenen Größe oder bezieht sich das immer auf alle nichttrivialen Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion?

Ist eigentlich überhaupt etwas darüber bekannt wie die Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion auf der kritischen Gerade verteilt sind? Gibt es irgendwelche Arbeiten darüber?

Grüße, hawkingfan
        
Bezug
Zeta–Nullstellen–Primzahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:11 Mo 08.11.2010
Autor: felixf

Moin hawkingfan!

> Gibt es einen Zusammenhang zwischen der Verteilung der
> Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion auf der
> kritischen Gerade Re=1/2 und der Anzahl der Primzahlen
> unter einer gegebenen größer?

Ja, den gibt es.

Sei [mm] $\pi(x)$ [/mm] wie ueblich die Anzahl der Primzahlen [mm] $\le [/mm] x$.

Dann gilt nach dem Primzahlsatz ja [mm] $\pi(x) \sim \frac{x}{\log x}$. [/mm]

Genauer: mit $Li(x) = [mm] \int_2^x \frac{dt}{\log t}$ [/mm] (Integrallogarithmus) hat man [mm] $\pi(x) [/mm] = Li(x) + O(x [mm] \cdot \exp(-C \sqrt{\ln x}))$. [/mm] Der Fehlerterm wird beschrieben durch eine Summe ueber alle Nullstellen der Zeta-Funktion; eine Herleitung findet sich []hier.

Und wenn die nicht-trivialen Nullstellen alle auf [mm] $\Re [/mm] z = [mm] \tfrac{1}{2}$ [/mm] liegen, hat das zur Folge dass man den Fehlerterm besser abschaetzen kann. Man bekommt dann [mm] $\pi(x) [/mm] = Li(x) + [mm] O(\sqrt{x} \log [/mm] x)$.

(Wie man []hier sieht, ist [mm] $\pi(x) \sim [/mm] Li(x)$ eine ziemlich gute Abschaetzung.)

> Ist eigentlich überhaupt etwas darüber bekannt wie die
> Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion auf der
> kritischen Gerade verteilt sind? Gibt es irgendwelche
> Arbeiten darüber?

Es gibt Leute, die sich damit beschaeftigen. []Hier findest du einige Links.

LG Felix

Bezug
                
Bezug
Zeta–Nullstellen–Primzahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:05 Mo 08.11.2010
Autor: hawkingfan

Vielen, vielen Dank, genau sowas wollte ich wissen.
Bezug
                
Bezug
Zeta–Nullstellen–Primzahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:38 Mo 08.11.2010
Autor: hawkingfan


> Und wenn die nicht-trivialen Nullstellen alle auf [mm]\Re z = \tfrac{1}{2}[/mm]
> liegen, hat das zur Folge dass man den Fehlerterm besser
> abschaetzen kann. Man bekommt dann [mm]\pi(x) = Li(x) + O(\sqrt{x} \log x)[/mm].
>  

Könntest du mir sagen, wo das bewiesen wird? Würde mich interressieren...
Bezug
                        
Bezug
Zeta–Nullstellen–Primzahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:25 Mo 08.11.2010
Autor: felixf

Moin,

> > Und wenn die nicht-trivialen Nullstellen alle auf [mm]\Re z = \tfrac{1}{2}[/mm]
> > liegen, hat das zur Folge dass man den Fehlerterm besser
> > abschaetzen kann. Man bekommt dann [mm]\pi(x) = Li(x) + O(\sqrt{x} \log x)[/mm].
>  
> >  

>
> Könntest du mir sagen, wo das bewiesen wird? Würde mich
> interressieren...

[]hier wird auf eine Arbeit von Schoenfeld verwiesen.

LG Felix

Bezug
                
Bezug
Zeta–Nullstellen–Primzahlen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:20 Di 09.11.2010
Autor: hawkingfan


> Genauer: mit [mm]Li(x) = \int_2^x \frac{dt}{\log t}[/mm]
> (Integrallogarithmus) hat man [mm]\pi(x) = Li(x) + O(x \cdot \exp(-C \sqrt{\ln x}))[/mm].
> Der Fehlerterm wird beschrieben durch eine Summe ueber alle
> Nullstellen der Zeta-Funktion

Wie genau würde diese Summe aussehen?

Grüße, hawkingfan
Bezug
                        
Bezug
Zeta–Nullstellen–Primzahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 04:58 So 14.11.2010
Autor: felixf

Moin!

> > Genauer: mit [mm]Li(x) = \int_2^x \frac{dt}{\log t}[/mm]
> > (Integrallogarithmus) hat man [mm]\pi(x) = Li(x) + O(x \cdot \exp(-C \sqrt{\ln x}))[/mm].
> > Der Fehlerterm wird beschrieben durch eine Summe ueber alle
> > Nullstellen der Zeta-Funktion
>  
> Wie genau würde diese Summe aussehen?

Vielleicht sollte man besser sagen: Der Fehlerterm wird im wesentlichen beschrieben durch eine Summe ueber alle Nullstellen der Zeta-Funktion.

Zumindest scheint es mir momentan so, wenn ich etwas in der Literatur blaettere... Der Zusammenhang zwischen [mm] $\pi(x)$ [/mm] und den Nullstellen der Zeta-Funktion findet sich dort nicht ganz so direkt. Wenn man alles zusammenbastelt, wird der Fehlerterm vermutlich durch so eine Summe dominiert, aber es gibt halt noch etwas mehr. Da musst du wohl selber basteln oder jemand Fragen, der sich sehr gut damit auskennt.

LG Felix

Bezug
                        
Bezug
Zeta–Nullstellen–Primzahlen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:22 Fr 10.12.2010
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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