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Ziffer 1 im 100er Buch: Wie oft kommt Ziffer 1 vor?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:38 Mi 24.04.2019
Autor: Antitalente

Aufgabe
Wie oft kommt die Ziffer 1 im 1000er-Buch (also im Zahlenraum 1 bis und mit 1000) vor?

In der Primarschule wird mit dem "Tausenderbuch" gearbeitet, sowas sollte ich später erklären können ;)

Also ich habe als Resultat 274 mal.

Gerechnet habe ich 11 mal in der ersten Spalte des 1. Hunderterfelds (1 bis 100; 10 mal eine 1 und plus 1 wegen der Zahl 11) und dann 9 mal in der zweiten Zeile (ab 12 bis 19 plus 1 aus der obigen Zeile wegen der Zahl 10).
Für 9 Felder, in denen das Muster so aussieht, habe ich 20x9=180 bekommen.

Dann für das Feld ab 101 (bis 200):
1. Spalte: 9x2 plus 3 (für die 111), dann die zweite Zeile 9x2 (die 110 mit gezählt), dann die restlichen Zahlen ab 122 bis 199 (ohne die 111er Spalte natürlich) 8x7-1 (wegen 200). Für das Feld von 101 bis 200 habe ich also: 94 mal die Ziffer 1.

Daher dann total 180+94=274 mal kommt die Ziffer 1 im ZR 1 bis 1000 vor.

Leider findet man dazu nirgends eine Lösung...
Ich hoffe, mir kann jemand sagen, ob meine Überlegungen und Rechenwege korrekt sind, oder ob ich etwas vergessen/ausgelassen/doppelt eingerechnet hab.

Danke im Voraus!

        
Bezug
Ziffer 1 im 100er Buch: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:24 Mi 24.04.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Also ich habe als Resultat 274 mal.

Das ist falsch.
  

> Leider findet man dazu nirgends eine Lösung...

Die Lösung ist 301.

Leider weiß ich nicht, wie die Felder in deinem Buch aussehen, daher ist deine Lösung schwer nachzuvollziehen.

> Gerechnet habe ich 11 mal in der ersten Spalte des 1. Hunderterfelds (1 bis 100; 10 mal eine 1 und plus 1 wegen der Zahl 11) und dann 9 mal in der zweiten Zeile (ab 12 bis 19 plus 1 aus der obigen Zeile wegen der Zahl 10).
> Für 9 Felder, in denen das Muster so aussieht, habe ich 20x9=180 bekommen.

Das ist z.B. komisch. Im Zahlenbereich 1-100 gibt es 21x die 1.

10x die Einerstellen aller Zahlen von 1 - 100 (also 1,11,21,...)
+10x die Zehnerstelle der Zahlen von 10-19
+1x die Hunderterstelle von 100

Die 21 seh ich bei dir nirgends...

Gruß,
Gono


Bezug
                
Bezug
Ziffer 1 im 100er Buch: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:12 Do 25.04.2019
Autor: Antitalente

Hey danke für deine Antwort!
Ich bin sehr froh über andere Strategien. Ich habe schon vermutet, dass etwas nicht stimmt, aber im Bereich 1-100 hatte ich es wohl abgesehen von der 1 an der Hunderterstelle richtig (ich hatte da ja 20).

Von 201-300 (nd 301 bis 400, 401 bis 500 usw.) sind es dann aber auch nur 20 oder? Da kommt ja keine 1 mehr am Ende im Hunderter.
Und von 901-1000 sind es nochmal 21 wegen dem Tausender.
Dann wären es wohl 21+21+7x20 und dann noch das Feld 101 bis 200 dazu.

Könntest du mir bitte noch sagen, wieviele du nur für das Feld 101 bis 200 hast oder wie du das gerechnet hast?

Herzlichen Dank.

Bezug
                        
Bezug
Ziffer 1 im 100er Buch: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:10 Do 25.04.2019
Autor: chrisno

Zuerst einmal haben alle, bis auf die 200, eine 1 an der ersten Stelle. Das sind 99. Danach, also auf der 10ner und 1ner Stelle, gibt es so viele 1en wie sonst auch.

Daher schlage ich Dir vor, so zu zählen:
In jedem Block gibt es auf den 1ner Stellen zehn mal die 1.
In jedem Block gibt es auf den 10ner Stellen zehn mal die 1.
Bei zehn Blöcken sind das 200.
Im ersten Block gibt es eine 1 dazu, für die 100.
Im letzten Block gibt es eine 1 dazu, für die 1000.
Im zweiten Block gibt es 99 1en dazu, nur für die 200 keine.

Bezug
        
Bezug
Ziffer 1 im 100er Buch: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:01 Sa 27.04.2019
Autor: HJKweseleit

Vielleicht hilft dir auch diese bildliche Darstellung:

Zunächst nur die Zahlen von 0 bis 999:

Stell dir ein Zahlenschloss mit 3 Ringen vor, wobei jeder Ring die Ziffern von 0 bis 9 hat.

Nun stellst du vorn die 1 ein. Dazu kannst du die beiden hinteren Ringe noch auf 10*10=100 verschiedene Weisen einstellen. Das gibt 100 Zahlen mit Ziffer 1 an erster Stelle.

Nun stellst du den 2. Ring auf 1, dazu kannst du dann den 1. und 3. Ring auf 10*10=100 verschiedene Arten einstellen, gibt wieder 100 Mgl., ebenso das selbe mit dem 3. Ring.

Dass z.B. die Zahl 111 insgesamt 3 mal gezählt wird, ist beabsichtigt, den diese hat ja 3 mal die Ziffer 1.

Insgesamt erhältst du also 300 Einsen, mit der von 1000 sind es dann 301.


Zusatzbemerkung:
Wieviele von den Zahlen von 1 bis 1000 haben eine oder mehrere 1-en? Jetzt werden also nicht die Ziffern gezählt, sondern die Zahlen mit 1. Die Zahl 111 wird hier also nur einmal gezählt, bei obiger Aufgabe liefert sie 3 Ziffern.

Lösung:
Wir betrachten wieder nur die Zahlen von 000 bis 999. Dazu  entfernen wir aus allen drei Ringen die Ziffer 1. Dann können wir damit alle Zahlen von 000 bis 999 einstellen, die KEINE 1 enthalten. Das sind 9*9*9=729 Zahlen. Also enthalten genau 1000-729 = 271 Zahlen eine oder mehrere 1-en. Die 1000 kommt noch dazu, macht 272 Zahlen, die mindestens eine 1 enthalten.

Das sind 29 weniger als bei der ersten Aufgabe. Nur in 111 kommen 3 Einsen vor, die Zahl wirde 3 mal statt 1 mal gezählt. In 27 Zahlen demnach 2 Einsen:

Beide hinten     vorn und hinten    vorn
011               101               110
(111 fehlt)       (111 fehlt)       (111 fehlt)
211               121               112
311               131               113
...               ...               ...
911               191               119

3*9=27 Zahlen.



Bezug
                
Bezug
Ziffer 1 im 100er Buch: Noch einfacher
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:56 Sa 27.04.2019
Autor: HJKweseleit

Hier ein noch einfacherer Weg:

Schreibt man alle tausend Zahlen von 000 bis 999 3-stellig auf, erhält man 3000 Ziffern. Da es 10 Ziffern gibt und keine bevorrechtigt vorkommt, sind 10 % der Ziffern, also 300 Stück, Einsen.

Bezug
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