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Zinseszinsrechng stetige Verzi: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:03 So 21.04.2019
Autor: hase-hh

Aufgabe
Der jährliche Zinssatz, mit dem ein Anfangskapital [mm] K_0 [/mm] bei jährlicher Zinszahlung verzinst wird, beträgt 10%, so dass man mit Zinseszinsen nach t Jahren das Kapital [mm] K_t [/mm] erhält.

Bei welchem jährlichen Zinssatz (in Prozent) würde man bei stetiger Verzinsung beim selben Anfangskapital [mm] K_0 [/mm] nach t Jahren dasselbe Endkapital [mm] K_t [/mm] erhalten?

Moin Moin,

über den reinen Lösungsweg hinaus, wäre ich für ein paar Anmerkungen zur einfachsten Vorgehensweise dankbar.


Zunächst würde ich eine geometrische Reihe erkennen... und die Formel [mm] K_t [/mm] = [mm] K_0*q^t [/mm]  ist mir auch bekannt.

und q ist hier mit 10%, d.h. q=0,1, vorgegeben.

bzw.

[mm] s_n [/mm] = [mm] a_0*\bruch{q^{n+1}-1}{q-1} [/mm]

[mm] K_t [/mm] = [mm] K_0*\bruch{0,1^{t+1}-1}{0,1-1} [/mm]


richtig?


Die Formel für die stetige Verzinsung lautet...

Anmerkungen

Die stetige Verzinsung  [mm] K_t [/mm] = [mm] \limes_{m\rightarrow\infty} [K_0+(1+\bruch{i}{m})^{m*n}] [/mm]  

bzw.  [mm] K_t [/mm] = [mm] K_0*e^{t*i} [/mm]

richtig?


Ich würde nun die Terme gleichsetzen...

[mm] K_t [/mm] = [mm] K_t [/mm]

[mm] K_0*\bruch{0,1^{t+1}-1}{0,1-1} [/mm] = [mm] K_0*e^{t*i} [/mm]


[mm] \bruch{0,1^{t+1}-1}{0,1-1} [/mm] = [mm] e^{t*i} [/mm]     | ln

Da ich i bestimmen möchte, müsste ich jetzt logarithmieren, richtig? oder gibt es vielleicht einen einfacheren Weg?


ln [mm] (\bruch{0,1^{t+1}-1}{0,1-1}) [/mm] = t*i


i = [mm] \bruch{ln(\bruch{0,1^{t+1}-1}{0,1-1})}{t} [/mm]


Leider komme ich hier auf keinen konkreten Wert, oder???


Danke für eure Hilfe!


        
Bezug
Zinseszinsrechng stetige Verzi: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:45 So 21.04.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

du würfelst Formeln durcheinander:

> Zunächst würde ich eine geometrische Reihe erkennen...

Wo auch immer du die erkennen willst... Du brauchst sie hier nicht.

> und die Formel [mm]K_t[/mm] = [mm]K_0*q^t[/mm]  ist mir auch bekannt.

Das ist schön, hat aber leider nichts mit Zinsrechnung zu tun sondern höchstens mit Abschreibungen.

> und q ist hier mit 10%, d.h. q=0,1, vorgegeben.

Wenn q das sein soll so lautet die korrekte Formel:  [mm]K_t=K_0*(1+q)^t[/mm]  andernfalls würde dein Kapital ja kleiner werden mit der Zeit.... doofe Geldanlage.

> [mm]s_n[/mm] = [mm]a_0*\bruch{q^{n+1}-1}{q-1}[/mm]
>  
> [mm]K_t[/mm] = [mm]K_0*\bruch{0,1^{t+1}-1}{0,1-1}[/mm]

Was immer das sein soll: wir nennen es mal sinnlos und ignorieren das im weiteren Verlauf.

> Die Formel für die stetige Verzinsung lautet...
>  
>  [mm]K_t[/mm] = [mm]K_0*e^{t*i}[/mm]

[ok]

> Ich würde nun die Terme gleichsetzen...

[ok]

Und nun rechne noch mal, mit den beiden richtigen Formeln diesmal.
Erinnere dich an die Logarithmus-Gesetze und verwende [mm] $\ln(1,1) \approx [/mm] 0,953$

Gruß,
Gono


Bezug
                
Bezug
Zinseszinsrechng stetige Verzi: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:10 So 21.04.2019
Autor: hase-hh


> Hiho,
>  
> du würfelst Formeln durcheinander:

Das stimmt, upps.  Mit [mm] K_n [/mm] = [mm] K_0*q^n [/mm]  war gemeint, dass q = 1 + p ist... was aber für die Folgenbetrachtung zu Verwirrungen führt...

> > Zunächst würde ich eine geometrische Reihe erkennen...
> Wo auch immer du die erkennen willst... Du brauchst sie
> hier nicht.
>
> > und die Formel [mm]K_t[/mm] = [mm]K_0*q^t[/mm]  ist mir auch bekannt.
> Das ist schön, hat aber leider nichts mit Zinsrechnung zu
> tun sondern höchstens mit Abschreibungen.

Stimmt nicht, wenn q=1+p gilt, s.o. Dennoch wähle ich im folgenden deinen Ansatz bzw. für q die Zahl, die ich sonst p nennen würde...

>  
> > und q ist hier mit 10%, d.h. q=0,1, vorgegeben.
>  Wenn q das sein soll so lautet die korrekte Formel:  
> [mm]K_t=K_0*(1+q)^t[/mm]  andernfalls würde dein Kapital ja kleiner
> werden mit der Zeit.... doofe Geldanlage.

> $ [mm] s_n [/mm] $ = $ [mm] a_0\cdot{}\bruch{q^{n+1}-1}{q-1} [/mm] $
>  
> $ [mm] K_t [/mm] $ = $ [mm] K_0\cdot{}\bruch{0,1^{t+1}-1}{0,1-1} [/mm] $

> Was immer das sein soll: wir nennen es mal sinnlos und ignorieren das im weiteren Verlauf.

Naja, die Idee war, die Summe dieser geometrischen Folge zu formulieren... OK, ignorieren wir...

***


Also, fangen wir an...

[mm] K_t [/mm] = [mm] K_o*(1+q)^t [/mm]

> > Die Formel für die stetige Verzinsung lautet...

  

> >  [mm]K_t[/mm] = [mm]K_0*e^{t*i}[/mm]

  
[mm] K_t [/mm] = [mm] K_t [/mm]
[mm] K_0*(1+q)^t [/mm] = [mm] K_0*e^{t*i} [/mm]   | : [mm] K_0 [/mm]

[mm] (1+q)^t [/mm] = [mm] e^{t*i} [/mm]   | ln

[mm] ln(1,1^t) [/mm] =  [mm] ln(e^{t*i}) [/mm]

t*ln(1,1) = t*i

i = ln(1,1) [mm] \approx [/mm]  0,0953

i [mm] \approx [/mm]  9,53 %


richtig?






Bezug
                        
Bezug
Zinseszinsrechng stetige Verzi: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:14 So 21.04.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Stimmt nicht, wenn q=1+p gilt, s.o. Dennoch wähle ich im
> folgenden deinen Ansatz bzw. für q die Zahl, die ich sonst
> p nennen würde...

ich eigentlich auch, hab mich da nur deiner Schreibweise angepasst ;-)

> i [mm]\approx[/mm]  9,53 %
> richtig?

[ok]

Gruss,
Gono

Bezug
                        
Bezug
Zinseszinsrechng stetige Verzi: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:43 Mo 22.04.2019
Autor: hase-hh

Anmerkung

Eben bin ich drauf gekommen, dass ich nicht q sondern p=10% gegeben habe!! Das macht die Sache für mich deutlich runder. ^^

Es gilt für die Zinseszinsrechnung

[mm] K_n [/mm] = [mm]K_0*q^n[/mm]  mit  q = 1+p

bzw.

[mm]K_t[/mm] = [mm]K_0*q^t[/mm]

[mm]K_t[/mm] = [mm]K_0*(1+0,1)^t[/mm]

[mm] K_t [/mm]  = [mm] K_0*1,1^t [/mm]

Es gilt für die stetige Verzinsung

[mm]K_t[/mm] = [mm]K_0*e^{t*i}[/mm]
  

Ansatz

[mm]K_t[/mm] = [mm]K_t[/mm]
[mm]K_0*1,1^t[/mm] = [mm]K_0*e^{t*i}[/mm]   | : [mm]K_0[/mm]

[mm](1,1)^t[/mm] = [mm]e^{t*i}[/mm]   | ln
  
[mm]ln(1,1^t)[/mm] =  [mm]ln(e^{t*i})[/mm]
  
t*ln(1,1) = t*i

i = ln(1,1) [mm]\approx[/mm]  0,0953

i [mm]\approx[/mm]  9,53 %




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