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Zinsrechnung: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:39 Do 18.05.2017
Autor: Wusa

Aufgabe
Eine Bank gewährt 3 Jahre lang 1,5% Zinsen jährlich, danach 2% Zinsen.
a) Um wie viel Prozent hat sich das Kapital nach 8 Jahren erhöht?
b) Nach wie viel Jahren wird eine Verdopplung des Kapitals erreicht?
c) Auf wie viel muss der Prozentsatz ab dem 4. Jahr steigen, damit sich das Kapital in 10 Jahren verdoppelt?

Meine bisherigen Rechenwege zu den oben genannten Aufgabenstellungen:  

a) 3*1,5% + 5* 2,0% = 14,5%

b) 2 KO = KO * [mm] q^{10} [/mm] | /KO
          2 = [mm] q^{10} [/mm]
          q = [mm] 10\wurzel{2} [/mm]
          q = 1,07177
  Verdopplung nach 7,12 Jahren bzw. rund 7 Jahren.

c) 2 KO = KO * [mm] 1,015^{3} [/mm] * 1,02 * [mm] q^{6} [/mm]  | /KO
         2 = 1,06659 * [mm] q^{6} [/mm]  | 1,06659
     [mm] q^6 [/mm] = 1,875
         q = [mm] 6\wurzel{1,875} [/mm]
         q = 1,11
Prozentsatz muss ab dem 4. Jahr auf rund 11 Prozent steigen, um eine Verdopplung des Kapitals nach 10 Jahren zu erhalten.


        
Bezug
Zinsrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:54 Do 18.05.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Eine Bank gewährt 3 Jahre lang 1,5% Zinsen jährlich,
> danach 2% Zinsen.
> a) Um wie viel Prozent hat sich das Kapital nach 8 Jahren
> erhöht?
> b) Nach wie viel Jahren wird eine Verdopplung des Kapitals
> erreicht?
> c) Auf wie viel muss der Prozentsatz ab dem 4. Jahr
> steigen, damit sich das Kapital in 10 Jahren verdoppelt?
> Meine bisherigen Rechenwege zu den oben genannten
> Aufgabenstellungen:

>

> a) 3*1,5% + 5* 2,0% = 14,5%

>

Das ergibt keinen Sinn, denn du hast ohne Zinseszins gerechnet. Wenn die Aufgabe heißt 'Eine Bank gewährt...' o.ä., dann ist von konventionellen Sparformen wie Sparbuch oder Termingeld auszugehen und da gibt es bekanntlich Zinseszinsen.

> b) 2 KO = KO * [mm]q^{10}[/mm] | /KO
> 2 = [mm]q^{10}[/mm]
> q = [mm]10\wurzel{2}[/mm]
> q = 1,07177
> Verdopplung nach 7,12 Jahren bzw. rund 7 Jahren.

Was rechnest du hier? Es ist nach einer Zeit gefragt, nicht nach einem Zinssatz!

>

> c) 2 KO = KO * [mm]1,015^{3}[/mm] * 1,02 * [mm]q^{6}[/mm] | /KO
> 2 = 1,06659 * [mm]q^{6}[/mm] | 1,06659
> [mm]q^6[/mm] = 1,875
> q = [mm]6\wurzel{1,875}[/mm]
> q = 1,11
> Prozentsatz muss ab dem 4. Jahr auf rund 11 Prozent
> steigen, um eine Verdopplung des Kapitals nach 10 Jahren zu
> erhalten.

c) ist der einzige Aufgabenteil, wo du ansatzweise Sinnvolles gerechnet hast. Einziges Problem: [mm] 3+6=9\ne{10}. [/mm]
Heißt: falschen Exponenten am q korrigieren, dann wird das richtig.


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Zinsrechnung: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:13 Do 18.05.2017
Autor: Wusa

a) Um wie viel Prozent hat sich das Kapital nach 8 Jahren erhöht?

[mm] q^{8} [/mm] = [mm] 10,15^{3} [/mm] * [mm] 1,02^{5} [/mm]
[mm] q^{8} [/mm] = 1,1545
q = [mm] 8\wurzel{1,1545} [/mm]
q = 1,018
p = 1,8 %

b) ...muss ich mir noch einmal Gedanken machen

c)
2 KO = KO *  [mm] 1,015^{3} [/mm]  * 1,02 *  [mm] q^{7} [/mm]  | /KO
2 = 1,067 * [mm] q^{7} [/mm]  | 1,067
[mm] q^{7} [/mm] = 1,874
q =  [mm] 7\wurzel{1,877} [/mm]  
q = 1,0939
p = 9,39 %

Bezug
                        
Bezug
Zinsrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:20 Do 18.05.2017
Autor: Diophant

Hallo,


> a) Um wie viel Prozent hat sich das Kapital nach 8 Jahren
> erhöht?

>

> [mm]q^{8}[/mm] = [mm]10,15^{3}[/mm] * [mm]1,02^{5}[/mm]
> [mm]q^{8}[/mm] = 1,1545
> q = [mm]8\wurzel{1,1545}[/mm]
> q = 1,018
> p = 1,8 %

Nein! Es ist nicht nach dem durchschnittlichen Prozentsatz gefragt, sondern nach dem gesamten für die 8 Jahre. Die ca. 15.5% sind also hier die Lösung, der Teil mit der Wurzel ist überflüssig bzw. falsch.

>

> b) ...muss ich mir noch einmal Gedanken machen

Der Exponent n in der Formel für das exponentielle Wachstum

[mm] K_n=K_0*q^n [/mm]

steht für die Zeit.

>

> c)
> 2 KO = KO * [mm]1,015^{3}[/mm] * 1,02 * [mm]q^{7}[/mm] | /KO
> 2 = 1,067 * [mm]q^{7}[/mm] | 1,067
> [mm]q^{7}[/mm] = 1,874
> q = [mm]7\wurzel{1,877}[/mm]
> q = 1,0939
> p = 9,39 %

Hier steckt immer noch ein Fehler drin. Der Faktor 1.02 hat hier nichts mehr zu suchen, da die neue Verzinsung ab dem vierten Jahr greift. Der Rest ist von der Methodik her richtig, nur das Resultat kann natürlich nicht stimmen.


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Zinsrechnung: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:21 Do 18.05.2017
Autor: Wusa

b) Nach wie viel Jahren wird eine Verdopplung des Kapitals erreicht?

2 KO = KO * [mm] 1,015^{3} [/mm] * [mm] 1,02^{n} [/mm] | /KO
2 = 1,046 * [mm] 1,02^{n} [/mm] | / 1,046
[mm] 1,02^{n} [/mm] = 1,91
n * lg 1,02 = lg 1,91
n = lg 1,91 / lg 1,02
n= 32,68  

Nach rund 33 Jahren wird eine Verdopplung des Kapitals erreicht.

Bezug
                        
Bezug
Zinsrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:46 Do 18.05.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> b) Nach wie viel Jahren wird eine Verdopplung des Kapitals
> erreicht?

>

> 2 KO = KO * [mm]1,015^{3}[/mm] * [mm]1,02^{n}[/mm] | /KO
> 2 = 1,046 * [mm]1,02^{n}[/mm] | / 1,046
> [mm]1,02^{n}[/mm] = 1,91
> n * lg 1,02 = lg 1,91
> n = lg 1,91 / lg 1,02
> n= 32,68

>

> Nach rund 33 Jahren wird eine Verdopplung des Kapitals
> erreicht.

Falsch. Überlege dir einmal, für was der Exponent n in deiner Rechnung steht, bzw. was du sinnvollerweise als Exponent hättest verwenden können. Es ist nicht so, dass man die Rechnung so nicht aufziehen könnte, nur muss dann das Ergebnis richtig interpretiert werden, da das n in deinem Ansatz nicht für die fragliche Zeitdauer steht.


Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
Zinsrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:03 Do 18.05.2017
Autor: Wusa


> Hallo,
>  
> > b) Nach wie viel Jahren wird eine Verdopplung des Kapitals
>  > erreicht?

>  >
>  > 2 KO = KO * [mm]1,015^{3}[/mm] * [mm]1,02^{n}[/mm] | /KO

>  > 2 = 1,046 * [mm]1,02^{n}[/mm] | / 1,046

>  > [mm]1,02^{n}[/mm] = 1,91

>  > n * lg 1,02 = lg 1,91

>  > n = lg 1,91 / lg 1,02

>  > n= 32,68

>  >
>  > Nach rund 33 Jahren wird eine Verdopplung des Kapitals

>  > erreicht.

>  
> Falsch. Überlege dir einmal, für was der Exponent n in
> deiner Rechnung steht, bzw. was du sinnvollerweise als
> Exponent hättest verwenden können. Es ist nicht so, dass
> man die Rechnung so nicht aufziehen könnte, nur muss dann
> das Ergebnis richtig interpretiert werden, da das n in
> deinem Ansatz nicht für die fragliche Zeitdauer steht.
>  
>
> Gruß, Diophant


Mmh...letztlich steht der Exponent n für die Anzahl der Jahre, die mit den 2 % verzinst werden.
Somit habe ich die 32 Jahre Verzinsung mit 2 % plus die 3 Jahre Verzinsung mit 1,5% - was somit 35 Jahre entsprechen würde.
Wäre diese Interpretation korrekt?


Bezug
                                        
Bezug
Zinsrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:10 Do 18.05.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Mmh...letztlich steht der Exponent n für die Anzahl der
> Jahre, die mit den 2 % verzinst werden.
> Somit habe ich die 32 Jahre Verzinsung mit 2 % plus die 3
> Jahre Verzinsung mit 1,5% - was somit 35 Jahre entsprechen
> würde.
> Wäre diese Interpretation korrekt?

Wenn du jetzt noch korrekt rundest und 33 bzw. 36 Jahre daraus machst: Ja.

A propos Runden: die Art und Weise, wie du das hier generell rechnest, ist ehrlich gesagt grauenvoll. Wenn man schon einen TR hat gibt es keinerlei Notwendigkeit, mit gerundeten Zahlen zu rechnen, sondern man löst solche Gleichungen symbolisch und rundet erst beim Endergebnis.


Gruß, Diophant

Bezug
                                                
Bezug
Zinsrechnung: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:22 Do 18.05.2017
Autor: Wusa

Herzlichen Dank für deine Geduld und die Erklärung - das Thema "Runden" werde ich mir zu Herzen nehmen und zukünftig darauf achten.

Danke!

Bezug
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