Zinsrechnung < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:52 So 27.01.2013 | | Autor: | hula |
Hallöchen
Ich beschäftige mich mit Zinsmodellen und verstehe den sogenannten "simple forward rate" nicht ganz. Anschlaulich wird dabei einfach in der Zukunft über ein Zeitintervall [mm]S-T [/mm] eine einfache Verzinsung vorgenommen. Nun bezeichne [mm] P(t,T) [/mm] den Preis eines Zero-Coupon Bond. Dass heisst, es gibt mir zum Zeitpunkt [mm] t [/mm] den Wert von einem Dollar zum Zeitpunkt [mm]T [/mm]. Die Formel für den simple foward rate [mm] F(t,T;S) [/mm] ist nun gegeben durch:
[mm]1+(S-T)F(t,T;S)=\frac{P(t,T)}{P(t,S)} [/mm]
Das verstehe ich nun nicht so ganz. Wenn wir das umschreiben, ergibt dies:
[mm]P(t,S)(1+(S-T)F(t,T;S))=P(t,T) [/mm]
Wieso ist, wenn ich zum Zeitpunkt [mm] t [/mm] [mm] P(t,S) [/mm] inverstiere und dies über das Intervall [mm] [T,S] [/mm] mit [mm] F(t,T;S) [/mm] einfach verzinse gleich dem Wert zum Zeitpunkt [mm] t [/mm] eines Dollars zum Zeitpunkt [mm] T [/mm].
Etwas einfacher ausgedrückt, [mm] P(t,T) [/mm] investiert, garantiert mir einen Dollar zum Zeitpunkt [mm] T [/mm]. Danke für die Hilfe!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:22 So 27.01.2013 | | Autor: | Staffan |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
Forwards Rates sind nach ihrer Definition zum einen Zinssätze für eine (Zins)periode, die in der Zukunft beginnt. Sie beruhen auf der Überlegung, daß a) eine Anlage heute (bezogen auf Dein Beispiel) im Zeitpunkt T den gleichen Wert haben muß wie b) eine heutige Anlage im Zeitpunkt S und anschließend eine weitere Anlage mit der Forward Rate ab dem Zeitpunkt S bis T, d.h. der Ertrag von a) und b) muß gleich und eine Arbitrage ausgeschlossen sein. Dabei wird vorausgesetzt, daß T - S = 1 ist. Da diese Forward Rates so lediglich eine Zinsperiode erfassen, gibt es auch nur eine einfache Verzinsung. (vgl. dazu etwa Thomas Heidorn Finanzmathematik in der Bankpraxis Vom Zins zur Option Kap. 2.4.1).
Neben Forward Rates für eine Periode werden auch solche für mehrere diskutiert. In diesem Fall gibt es keine einfache, sondern eine exponentielle Verzinsung, wobei die Berechnung für Zerobonds dann erfolgt nach
$ i_F = \left(\bruch{P\left(t,S\right)}{{P\left(t,T\right)}\right)^\bruch{1}{T-S}-1 $
(vgl. Andreas Pfeifer Praktische Finanzmathematik Kap. 3.5.2)
Einem Investor bieten Forward Rates alternative Anlagemöglichkeiten gegenüber einer einzigen bis zum Zeitpunkt T unter Sicherung des damit erzielbaren Ertrages (natürlich unter der Prämisse, daß es keinen Zahlungsausfall gibt). Das gilt sowohl für Zerobonds als auch verzinsliche Anlagen.
Gruß
Staffan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:16 Mo 28.01.2013 | | Autor: | hula |
Hallöchen Staffan
Danke für deine Hilfe. Aber so ganz bringt mich das nicht weiter. Ich habe diese Überlegung betreffend Arbitrage ebenfalls angesetzt. Beachte, dass in meinem Bsp. [mm] T
[mm] P(t,T)(1+(T-t)F(t,T))P(t,S)(1+(S-T)X)=P(t,S)(1+(S-t)F(t,S))[/mm]
Wobei die [mm] P(t,T)(1+(T-t)F(t,T))[/mm] einer einfach Verzinsung über die Zeitdauer [mm]T-t[/mm] entspricht, [mm]P(t,S)(1+(S-T) X)[/mm] der Verzinsung über [mm] S-T[/mm] und [mm] X[/mm] die gesuchte Foward rate ist. Auf der rechten Seite steht einfach die Verzinsung über [mm](S-t)[/mm]. Aber damit komme ich nicht auf die Richtige Lösung. Ist in der obigen Formel etwas falsch?
Danke für deine Geduld und Hilfe!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:52 Mo 28.01.2013 | | Autor: | Staffan |
Hallo,
danke für die Hinweise. Im Ergebnis sollte es egal sein, ob S < T ist oder umgekehrt, wenn man sich über die jeweilige Verwendung im klaren ist. Daß es drei Zeitpunkte gibt und der für die Forward Rate in der Zukunft liegt, habe ich angenommen. Bei Deiner Gleichung ist mir nicht ganz verständlich die Rolle von P(t,T) mit der späteren Multiplikation von P(t,S), einer Größe, die sich nach Deiner Darstellung herauskürzt. Auf beiden Seiten kann doch nur der Anfangswert für die gesamte Laufzeit P(t,S) stehen. Dann sollte es stimmen. Vielleicht kann ich mein Verständnis noch einmal auch mit einem Beispiel erläutern unter Verwendung Deiner Angaben. Es gibt die Zeitangaben t (heute), T (z.B. 1 Jahr und einen für diese Laufzeit bekannten Zinssatz, etwa 4%) und S (angenommen 2 Jahre und bekannter Zinssatz von 6%). Unbekannt ist die Forward Rate von T bis S, also (S - T), hier 1 Jahr. Das zu verzinsende Kapital ist in beiden Fällen gleich und kann mit 1 angesetzt werden. Gerechnet wird dann so mit [mm] i_F [/mm] als Forward Rate, [mm] i_S=0,06 [/mm] und [mm] i_T=0,04
[/mm]
$ [mm] \left(1+i_T\right)\cdot \left(1+i_F\right)=\left(1+i_S\right)^2 [/mm] $
$ [mm] \left(1+i_F\right)=\bruch{\left(1+i_S\right)^2}{\left(1+i_T\right)}=1,080384615 [/mm] $ bzw. allgemein
$ [mm] \left(1+i_F\right)=\bruch{\left(1+i_S\right)^n}{\left(1+i_T\right)^{n-1}} [/mm] $.
Beim Ansatz der aktuellen Kurse von Zerobonds (ZB) wäre das
$ [mm] \left(1+i_F\right)=\bruch{ZB_T}{ZB_S} [/mm] $.
Hier gibt die einfache Verzinsung, weil die Laufzeit der Forward Rate nur ein Jahr ist..
Wenn (S - T) >1 , z.B. S -> 3 Jahre mit einem bekannten Zinssatz für diese Laufzeit ist, gilt, bei (S - T)=2:
$ [mm] \left(1+i_T\right)\cdot \left(1+i_F\right)^2=\left(1+i_S\right)^3 [/mm] $
$ [mm] \left(1+i_F\right)^2=\bruch{\left(1+i_S\right)^3}{\left(1+i_T\right)} [/mm] $
$ [mm] \left(1+i_F\right)=\left(\bruch{\left(1+i_S\right)^3}{\left(1+i_T\right)} \right)^{\bruch{1}{2}} [/mm] $
und allgemein
$ [mm] \left(1+i_F\right)=\left(\bruch{\left(1+i_S\right)^S}{\left(1+i_T\right)^T} \right)^{\bruch{1}{S-T}}=\left(\bruch{ZB_T}{ZB_S} \right)^{\bruch{1}{S-T}}$.
[/mm]
Gruß
Staffan
|
|
|
|
