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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:25 Mo 12.05.2014 | | Autor: | qweargs |
| Aufgabe | Ein britischer Sportwagenhersteller möchte für sein neues Topmodell den Überwinder
eine Finanzierung anbieten. Der Listenpreis beträgt 240000 Euro. Die Finanzierung
soll eine Laufzeit von 48 Monaten haben. Die Finanzierung ist wie folgt aufgebaut:
- Am Anfang des ersten Monats wird eine Anzahlung von 40000 Euro geleistet,
- am Anfang der Monate 2 bis 48 wird eine Monatsrate y Euro gezahlt,
- am Ende wird eine Abschlusszahlung in Höhe von 60000 Euro gezahlt.
Die Hausbank des Sportwagengerstellers zahlt monatlich Zinsen und hat einen
e ffektiven Jahreszins von 2 Prozent. Die Monatsrate y soll so gewählt sein, dass
der Sportwagenhersteller nach 48 Monaten den gleichen Geldbetrag hat, wie wenn
sie nach dem Kauf 240000 Euro bei seiner Hausbank angelegt hätte.
Dabei legt der Sportwagenhersteller alle Zahlungen aus der Finanzierung sofort
bei seiner Hausbank an. Wie hoch muss die Monatsrate y sein?
Hinweis: Ein e ffektiver Jahreszins von 2 Prozent bedeutet, dass der monatliche
Zinssatz so hoch ist, dass man nach 12 Monaten mit Zinseszins genau 2 Prozent
des Anfangsbetrags dazu bekommen hat. Die Zahlungen am Anfang eines Monats
werden als für diesen Monat voll verzinst gewertet. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen, ich hoffe ich bin bei meiner ersten Frage im richtigen Forumteil gelandet.
Ich bin Student im ersten Semester zum Bachelor of Education in Mainz. Erschlagen von viel zu viel Stoff in viel zu kurzer Zeit, bekomme ich jede Woche mehrere Übungsblätter, so auch dieses.
Mein erster Ansatz war, dass der Hersteller, sollte er die 240.000€ direkt anlegen, 259.783,72€ hätte (240.000 * [mm] 1,02^4)
[/mm]
Das war mein Ausgangspunkt für folgende Überlegung: Wenn der Käufer das Auto nicht direkt kauft, sondern über die Finanzierung zahlt er insgesamt 100.000€ außerhalb der Finanzierung(40.000€ im 1. Monat, 60.000€ am Schluss), was dazu führt, dass der Kunde noch 159.783,72€ über die Finanzierung zahlen müsste mit insgesamt 47 Monaten (Monat 2 - 48) Laufzeit.
Anders gesagt, 36 Monate (3 Jahre) mit [mm] 1,02^3 [/mm] Zinsen und 11 Monate mit 0,722^11 Zinsen [mm] (\wurzel[12]{0,02}).
[/mm]
So kam ich auf die Gleichung :
159.783,72 = y * [mm] 1,02^3 [/mm] + y * 0,722^11
die ich nach y aufgelöst habe und zu einer monatlichen Rate von über 20.000€ kam, was nicht sein kann.
Nun zur Frage, ist mein Ansatz schon komplett falsch oder meine Überlegungen?
Ich freue mich über jede Antwort.
Mit freundlichen Grüßen
qweargs
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:52 Mo 12.05.2014 | | Autor: | Staffan |
Hallo,
> Ein britischer Sportwagenhersteller möchte für sein neues
> Topmodell den Überwinder
> eine Finanzierung anbieten. Der Listenpreis beträgt
> 240000 Euro. Die Finanzierung
> soll eine Laufzeit von 48 Monaten haben. Die Finanzierung
> ist wie folgt aufgebaut:
>
> - Am Anfang des ersten Monats wird eine Anzahlung von 40000
> Euro geleistet,
> - am Anfang der Monate 2 bis 48 wird eine Monatsrate y
> Euro gezahlt,
> - am Ende wird eine Abschlusszahlung in Höhe von 60000
> Euro gezahlt.
>
> Die Hausbank des Sportwagengerstellers zahlt monatlich
> Zinsen und hat einen
> e ffektiven Jahreszins von 2 Prozent. Die Monatsrate y
> soll so gewählt sein, dass
> der Sportwagenhersteller nach 48 Monaten den gleichen
> Geldbetrag hat, wie wenn
> sie nach dem Kauf 240000 Euro bei seiner Hausbank angelegt
> hätte.
>
> Dabei legt der Sportwagenhersteller alle Zahlungen aus der
> Finanzierung sofort
> bei seiner Hausbank an. Wie hoch muss die Monatsrate y
> sein?
>
> Hinweis: Ein e ffektiver Jahreszins von 2 Prozent bedeutet,
> dass der monatliche
> Zinssatz so hoch ist, dass man nach 12 Monaten mit
> Zinseszins genau 2 Prozent
> des Anfangsbetrags dazu bekommen hat. Die Zahlungen am
> Anfang eines Monats
> werden als für diesen Monat voll verzinst gewertet.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo zusammen, ich hoffe ich bin bei meiner ersten Frage
> im richtigen Forumteil gelandet.
>
> Ich bin Student im ersten Semester zum Bachelor of
> Education in Mainz. Erschlagen von viel zu viel Stoff in
> viel zu kurzer Zeit, bekomme ich jede Woche mehrere
> Übungsblätter, so auch dieses.
>
> Mein erster Ansatz war, dass der Hersteller, sollte er die
> 240.000€ direkt anlegen, 259.783,72€ hätte (240.000 *
> [mm]1,02^4)[/mm]
Das ist richtig.
>
> Das war mein Ausgangspunkt für folgende Überlegung: Wenn
> der Käufer das Auto nicht direkt kauft, sondern über die
> Finanzierung zahlt er insgesamt 100.000€ außerhalb der
> Finanzierung(40.000€ im 1. Monat, 60.000€ am Schluss),
> was dazu führt, dass der Kunde noch 159.783,72€ über
> die Finanzierung zahlen müsste mit insgesamt 47 Monaten
> (Monat 2 - 48) Laufzeit.
>
Das unterstellt, daß z.B. die 40000, die am Anfang gezahlt werden, nicht angelegt werden, was die Aufgabe verlangt.
> Anders gesagt, 36 Monate (3 Jahre) mit [mm]1,02^3[/mm] Zinsen und 11
> Monate mit 0,722^11 Zinsen [mm](\wurzel[12]{0,02}).[/mm]
Zur Umrechnung des Zinssatzes siehe unten.
>
> So kam ich auf die Gleichung :
> 159.783,72 = y * [mm]1,02^3[/mm] + y * 0,722^11
> die ich nach y aufgelöst habe und zu einer monatlichen
> Rate von über 20.000€ kam, was nicht sein kann.
>
> Nun zur Frage, ist mein Ansatz schon komplett falsch oder
> meine Überlegungen?
>
> Ich freue mich über jede Antwort.
>
> Mit freundlichen Grüßen
>
> qweargs
Da der Verkäufer - wie erwähnt - jede Rate sofort bei der Bank anlegt, müssen alle (Ein)zahlungen am Ende genau soviel ergeben wie eine Anlage der 240000. Es ist daher der Endwert aller Zahlungen des Käufers auf diesen Zeitpunkt zu bestimmen, wobei der
monatliche Zins sich berechnet nach [mm] $i_m=1,02^{\bruch{1}{12}}-1 [/mm] $ und [mm] $q_m=1+i_m [/mm] $ sowie alle Raten gleich hoch sind.
Dann gilt:
$ 240000 [mm] \cdot 1,02^4=40000 \cdot 1,02^4+y\cdot\bruch{q_m^{47}-1}{q_m-1}\cdot q_m+60000 [/mm] $.
Das ist nach y aufzulösen.
Gruß
Staffan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Di 13.05.2014 | | Autor: | qweargs |
Hallo Staffan,
vielen Dank für deine schnelle Antwort. Dank deiner Hilfe konnte ich es (hoffentlich) lösen, habe aber dennoch eine Verständnisfrage.
Du sagtest [mm] i_m [/mm] = [mm] 1,02^\bruch{1}{12} [/mm] - 1 und [mm] q_m [/mm] = 1- [mm] i_m
[/mm]
Warum -1 ? Damit es dem Zinssatz an sich entspricht(nicht als Faktor)?
Und, ist [mm] q_m [/mm] dann also = 1 - [mm] 1,02^\bruch{1}{12} [/mm] - 1 = - [mm] 1,02^\bruch{1}{12} [/mm] ?
Wir haben eine ähnliche Rechnung heute in der Vorlesung gehabt, leider ist mein Prof nicht der beste im erklären, weshalb ich das noch nicht ganz verstehe.
Gruß
qweargs
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:57 Di 13.05.2014 | | Autor: | Staffan |
Hallo,
ich hatte geschrieben [mm] $q_m=1+i_m [/mm] (nicht minus). Von daher stimmt die Herleitung von q bei Dir nicht.
Die Größe q vereinfacht generell die Ermittlung eines Kapitals inklusive Zinsen. Zugrunde liegt dem
$ [mm] K\cdot [/mm] q= K+K*i=K [mm] \cdot \left(1+i\right) [/mm] $.
Von dem Effektivzins i=0,02 kommt man zum Monatszins [mm] i_m [/mm] über die unterjährige monatliche Verzinsung mit der Gleichsetzung
$ [mm] K\cdot [/mm] 1,02=K [mm] \cdot \left(1+i_m\right)^{12}$
[/mm]
$ 1,02= [mm] \left(1+i_m\right)^{12}$
[/mm]
$ [mm] \wurzel[12]{1,02}=1,02^{\bruch{1}{12}}=1+i_m [/mm] $
Das nach [mm] i_m [/mm] aufgelöst, hier spielt -1 eine Rolle, ergibt den Monatszins. Und - wie schon gesagt - [mm] $q_m=1+i_m$. [/mm] Damit kommst Du hier zur Lösung.
Gruß
Staffan
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