Zorn'sche lemma < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:50 So 15.08.2010 | | Autor: | kalor |
Hallo!
Ich möchte gerne mittels Zorn'sche lemma zeigen, dass eine Menge ein maximales Element enthält. Und zwar habe ich einen metrischen Raum $\ (X,d) $ gegeben. Des weiteren sei ein $\ [mm] \epsilon [/mm] > 0 $ vorgegeben. Jetzt suche ich nach einer maximalen Menge [mm] M := \{B(m,\epsilon) | m \in M \subset X \} [/mm] so dass all diese $\ [mm] \epsilon [/mm] -$Bälle paarweise disjunkt sind. Normalerweise wendet man ja Zorn mit der üblichen "Vereinigungstechnick" an. Allerdings krieg ich das hier nicht so richtig hin. Ich habe doch eine Menge:
[mm] \mathcal{A}:=\{P \subset X | \{B(x,p), p \in P \}\} [/mm] und diese $\ [mm] \epsilon [/mm] -$Bälle sind für die die entsprechende Menge $\ P [mm] \subset [/mm] X$ paarweise disjunkt. Jetzt muss ich mir ja eine strikt geordnete Teilmenge $\ [mm] \mathcal{B} \subset \mathcal{A} [/mm] $ nehmen (bzg. strikter inklusion geordnet) und zeigen, dass es eine obere Schranke in $\ [mm] \mathcal{A} [/mm] $ gibt.
Normalerweise (oder zumindest oft) konstruiert man eine obere Schranke indem man alle Elemente aus $\ [mm] \mathcal{B} [/mm] $ vereinigt. Also so etwas:
[mm] \Omega := \bigcup_{B \in \mathcal{B}} B [/mm]
Das dies eine obere Schranke für $\ [mm] \mathcal{B} [/mm] $ ist, ist klar. Aber das Problem ist, dass diese Menge doch nicht in $\ [mm] \mathcal{A}$ [/mm] enthalten ist. (da sie nicht mehr aus paarweis disjunkten $\ [mm] \epsilon [/mm] -$Bälle besteht.)
Ich hoffe jemand kann mir zeigen, wie ich Zorn richtig anwenden muss, um mein maximales Elment $\ M $ zu erhalten! Danke¨
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 So 15.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
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> Ich möchte gerne mittels Zorn'sche lemma zeigen, dass eine
> Menge ein maximales Element enthält. Und zwar habe ich
> einen metrischen Raum [mm]\ (X,d)[/mm] gegeben. Des weiteren sei ein
> [mm]\ \epsilon > 0[/mm] vorgegeben. Jetzt suche ich nach einer
> maximalen Menge [mm]M := \{B(m,\epsilon) | m \in M \subset X \}[/mm]
> so dass all diese [mm]\ \epsilon -[/mm]Bälle paarweise disjunkt
> sind. Normalerweise wendet man ja Zorn mit der üblichen
> "Vereinigungstechnick" an. Allerdings krieg ich das hier
> nicht so richtig hin. Ich habe doch eine Menge:
>
> [mm]\mathcal{A}:=\{P \subset X | \{B(x,p), p \in P \}\}[/mm]
Das ist ja furchtbar wirr !
Einmal ist von M die Rede , dann von [mm] \mathcal{A}
[/mm]
So wie [mm] \mathcal{A} [/mm] oben steht macht das gar keinen Sinn.
Was ist x in B(x,p) ??? Wo ist das [mm] \epsilon [/mm] geblieben ?
Mehr Sinn würde machen
[mm]\mathcal{A}:=\{ B(x,p): p \in P \}\}[/mm] ($P [mm] \subset [/mm] X$)
Bring mal Ordnung in die Sache
FRED
> und
> diese [mm]\ \epsilon -[/mm]Bälle sind für die die entsprechende
> Menge [mm]\ P \subset X[/mm] paarweise disjunkt. Jetzt muss ich mir
> ja eine strikt geordnete Teilmenge [mm]\ \mathcal{B} \subset \mathcal{A}[/mm]
> nehmen (bzg. strikter inklusion geordnet) und zeigen, dass
> es eine obere Schranke in [mm]\ \mathcal{A}[/mm] gibt.
> Normalerweise (oder zumindest oft) konstruiert man eine
> obere Schranke indem man alle Elemente aus [mm]\ \mathcal{B}[/mm]
> vereinigt. Also so etwas:
>
> [mm]\Omega := \bigcup_{B \in \mathcal{B}} B[/mm]
>
> Das dies eine obere Schranke für [mm]\ \mathcal{B}[/mm] ist, ist
> klar. Aber das Problem ist, dass diese Menge doch nicht in
> [mm]\ \mathcal{A}[/mm] enthalten ist. (da sie nicht mehr aus
> paarweis disjunkten [mm]\ \epsilon -[/mm]Bälle besteht.)
> Ich hoffe jemand kann mir zeigen, wie ich Zorn richtig
> anwenden muss, um mein maximales Elment [mm]\ M[/mm] zu erhalten!
> Danke¨
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 So 15.08.2010 | | Autor: | kalor |
ok sorry, wenn ich nicht verständlich war!
also mit [mm] B(x,\epsilon) [/mm] meine ich einen Ball um den Punkt x mit Radius $\ [mm] \epsilon [/mm] $, also die Menge [mm] B(x,\epsilon) = \{y \in X | d(x,y) < \epsilon\} [/mm].
Nun suche ich ein maximales Elment, welches ich $\ [mm] \mathcal{M} [/mm] $ nenne. Maximal bedeutet hier, dass $\ [mm] \mathcal{M} \subset [/mm] X$ und man bildet mit JEDEN dieser Punkte $\ m [mm] \in \mathcal{M} [/mm] $ die Menge $\ [mm] B(m,\epsilon)$ [/mm] und all dies Bälle sind paarweise disjunkt. D.h. ich kann keinen weiteren Punkt $\ z$ aus $\ X $ zu dieser Menge $\ [mm] \mathcal{M} [/mm] $ hinzufügen, so dass $\ [mm] B(z,\epsilon) [/mm] $ mit allen anderen Bällen, deren Mittelpunkt aus $\ [mm] \mathcal{M} [/mm] $ ist, disjunkt ist.
Nun zu meiner Menge $\ [mm] \mathcal{A}$: [/mm] Das ist meine Grundmenge für die Mittelpunkte. $\ [mm] \mathcal{M}$ [/mm] ist dann davon ein maximales Element.
Auf diese Menge $\ [mm] \mathcal{A} [/mm] $ möchte ich Zorn anwenden.
Also muss ich ja zeigen, dass für jede strikt geordnete Teilmenge $\ [mm] \mathcal{B} [/mm] $ von $\ [mm] \mathcal{A}$ [/mm] eine obere Schranke in [mm] $\ \mathcal{A}$ [/mm] existiert!
Bsp: Die Menge $\ [mm] \mathcal{A}$ [/mm] beinhaltet z.B. eine Menge $\ Z = [mm] \{a,b,c\} \subset [/mm] X $ mit
[mm] B(a,\epsilon) \cap B(b,\epsilon) = \emptyset, B(a,\epsilon) \cap B(c,\epsilon) = \emptyset,B(b,\epsilon) \cap B(c,\epsilon) = \emptyset [/mm]
Das ist jetzt eine endliche Menge als Bsp. Natürlich muss das im Allg. nicht der Fall sein.
So ich hoffe, dass die Ausgangslage verständlich ist!
Mein Problem besteht nur darin, diese obere Schranke zu finden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:06 Mo 16.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> ok sorry, wenn ich nicht verständlich war!
>
> also mit [mm]B(x,\epsilon)[/mm] meine ich einen Ball um den Punkt x
> mit Radius [mm]\ \epsilon [/mm], also die Menge [mm]B(x,\epsilon) = \{y \in X | d(x,y) < \epsilon\} [/mm].
> Nun suche ich ein maximales Elment, welches ich [mm]\ \mathcal{M}[/mm]
> nenne. Maximal bedeutet hier, dass [mm]\ \mathcal{M} \subset X[/mm]
> und man bildet mit JEDEN dieser Punkte [mm]\ m \in \mathcal{M}[/mm]
> die Menge [mm]\ B(m,\epsilon)[/mm] und all dies Bälle sind
> paarweise disjunkt. D.h. ich kann keinen weiteren Punkt [mm]\ z[/mm]
> aus [mm]\ X[/mm] zu dieser Menge [mm]\ \mathcal{M}[/mm] hinzufügen, so dass
> [mm]\ B(z,\epsilon)[/mm] mit allen anderen Bällen, deren
> Mittelpunkt aus [mm]\ \mathcal{M}[/mm] ist, disjunkt ist.
>
> Nun zu meiner Menge [mm]\ \mathcal{A}[/mm]: Das ist meine Grundmenge
> für die Mittelpunkte. [mm]\ \mathcal{M}[/mm] ist dann davon ein
> maximales Element.
Kann es sein, dass [mm] $\mathcal{A} [/mm] = [mm] \{ P \subseteq X \mid \forall x, y \in P, x \neq y : B(x, \varepsilon) \cap B(y, \varepsilon) = \emptyset \}$ [/mm] ist?
Fuer eine aufsteigende Kette [mm] $(A_n)_n$ [/mm] in [mm] $\mathcal{P}$ [/mm] gilt dann aber auch ganz offensichtlich [mm] $\bigcup_n A_n \in \mathcal{P}$. [/mm] Und somit gibt es wegen des Zornschen Lemmas eine maximale solche Menge.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:21 Mo 16.08.2010 | | Autor: | kalor |
Ja genau, die Menge $\ [mm] \mathcal{A} [/mm] $ kann man auch so beschreiben. Was ist bei dir $\ [mm] \mathcal{P}$?
[/mm]
Ich muss doch, um Zorn auf die Menge $\ [mm] \mathcal{A}$ [/mm] anzuwenden eine Teilmenge $\ [mm] \mathcal{B} \subset \mathcal{A}$ [/mm] nehmen, diese ist strikt geordnet bzgl. strikter Inklusion und dann zeigen, dass für diese Menge eine obere Schranke in $\ [mm] \mathcal{A} [/mm] $ existiert. Oft haben wir in meinem Studium diese obere Schranke, nenne sie wir $\ [mm] \mathcal{C}$, [/mm] wie folgt gewählt:
[mm] \mathcal{C} = \bigcup_{B \in \mathcal{B}} B [/mm]
Nun diese Vereinigung ist sicherlich eine obere Schranke, aber sie liegt doch nicht mehr in der Menge $\ [mm] \mathcal{A}$, [/mm] da diese die offenen Bälle nicht mehr disjunkt sein müssen! Für zwei Mengen $\ [mm] B_1, B_2 \in \mathcal{B}$, [/mm] weiss ich ja nur:
1. [mm] \forall x_1,y_1 \in B_1: B(x_1,\epsilon) \cap B(y_1,\epsilon) = \emptyset [/mm]
2. [mm] \forall x_2,y_2 \in B_2: B(x_2,\epsilon) \cap B(y_2,\epsilon) = \emptyset [/mm]
Aber das z.B. [mm] B(x_1,\epsilon) \cap B(x_2,\epsilon) = \emptyset [/mm] richtig ist, kann ich ja nicht sagen.
Wir haben das in einem Beweis wie folgt (sehr unpräzise aufgeschrieben) und ich wollte dies nun genauer ausführen: Sei $\ [mm] \epsilon [/mm] > 0$, $\ S [mm] \subset [/mm] X$ maximal, so dass $\ [mm] \{B(s,\epsilon) | s \in S \} [/mm] $ eine Familie aus paarweisen disjunkten Bällen ist (nach Zorn).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:29 Mo 16.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ja genau, die Menge [mm]\ \mathcal{A}[/mm] kann man auch so
> beschreiben. Was ist bei dir [mm]\ \mathcal{P}[/mm]?
Aeh, das sollte [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] sein :)
> Ich muss doch,
> um Zorn auf die Menge [mm]\ \mathcal{A}[/mm] anzuwenden eine
> Teilmenge [mm]\ \mathcal{B} \subset \mathcal{A}[/mm] nehmen, diese
> ist strikt geordnet bzgl. strikter Inklusion und dann
> zeigen, dass für diese Menge eine obere Schranke in [mm]\ \mathcal{A}[/mm]
> existiert. Oft haben wir in meinem Studium diese obere
> Schranke, nenne sie wir [mm]\ \mathcal{C}[/mm], wie folgt gewählt:
>
> [mm]\mathcal{C} = \bigcup_{B \in \mathcal{B}} B[/mm]
Das geht hier auch.
> Nun diese Vereinigung ist sicherlich eine obere Schranke,
> aber sie liegt doch nicht mehr in der Menge [mm]\ \mathcal{A}[/mm],
> da diese die offenen Bälle nicht mehr disjunkt sein
> müssen!
Wieso das?
> Für zwei Mengen [mm]\ B_1, B_2 \in \mathcal{B}[/mm],
> weiss ich ja nur:
>
> 1. [mm]\forall x_1,y_1 \in B_1: B(x_1,\epsilon) \cap B(y_1,\epsilon) = \emptyset[/mm]
>
> 2. [mm]\forall x_2,y_2 \in B_2: B(x_2,\epsilon) \cap B(y_2,\epsilon) = \emptyset[/mm]
>
> Aber das z.B. [mm]B(x_1,\epsilon) \cap B(x_2,\epsilon) = \emptyset[/mm]
> richtig ist, kann ich ja nicht sagen.
Nun, da [mm] $B_1 \subseteq B_2$ [/mm] oder [mm] $B_2 \subseteq B_1$ [/mm] gilt -- nehmen wir ohne Einschraenkung mal [mm] $B_1 \subseteq B_2$ [/mm] an --, dann ist doch [mm] $x_1, y_1 \in B_2$, [/mm] womit auch [mm] $B(x_1, \epsilon) \cap B(x_2, \epsilon) [/mm] = [mm] \emptyset$ [/mm] ist (falls nicht gerade [mm] $x_1 [/mm] = [mm] x_2$ [/mm] ist).
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:31 Di 17.08.2010 | | Autor: | kalor |
> Nun, da [mm]B_1 \subseteq B_2[/mm] oder [mm]B_2 \subseteq B_1[/mm] gilt --
> nehmen wir ohne Einschraenkung mal [mm]B_1 \subseteq B_2[/mm] an --,
> dann ist doch [mm]x_1, y_1 \in B_2[/mm], womit auch [mm]B(x_1, \epsilon) \cap B(x_2, \epsilon) = \emptyset[/mm]
> ist (falls nicht gerade [mm]x_1 = x_2[/mm] ist).
Wieso denn das? Man weiss ja nur so viel: [mm] B_1 \subset X,B_2 \subset X[/mm] und [mm] \forall x_i,y_i \in B_i,i\in \{1,2\}: B_i(x_i,\epsilon) \cap B_i(y_i,\epsilon) = \emptyset [/mm]. Aber wie die Mengen $\ [mm] B_1$ [/mm] und $\ [mm] B_2$ [/mm] zueinander stehen, darüber weiss man nichts. Es könnte z.B. sein, dass $\ [mm] B_1 \cap B_2 [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] $. Dann hätte man keine Probleme. Aber das ist nur ein Fall. Oder wieso sollte $\ [mm] B_1 \subset B_2$ [/mm] oder $\ [mm] B_2 \subset B_1$ [/mm] gelten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:45 Di 17.08.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Nun, da [mm]B_1 \subseteq B_2[/mm] oder [mm]B_2 \subseteq B_1[/mm] gilt --
> > nehmen wir ohne Einschraenkung mal [mm]B_1 \subseteq B_2[/mm] an --,
> > dann ist doch [mm]x_1, y_1 \in B_2[/mm], womit auch [mm]B(x_1, \epsilon) \cap B(x_2, \epsilon) = \emptyset[/mm]
> > ist (falls nicht gerade [mm]x_1 = x_2[/mm] ist).
>
> Wieso denn das? Man weiss ja nur so viel: [mm]B_1 \subset X,B_2 \subset X[/mm]
> und [mm]\forall x_i,y_i \in B_i,i\in \{1,2\}: B_i(x_i,\epsilon) \cap B_i(y_i,\epsilon) = \emptyset [/mm].
> Aber wie die Mengen [mm]\ B_1[/mm] und [mm]\ B_2[/mm] zueinander stehen,
> darüber weiss man nichts. Es könnte z.B. sein, dass [mm]\ B_1 \cap B_2 = \emptyset [/mm].
> Dann hätte man keine Probleme. Aber das ist nur ein Fall.
> Oder wieso sollte [mm]\ B_1 \subset B_2[/mm] oder [mm]\ B_2 \subset B_1[/mm]
> gelten?
Lies dir doch mal bitte das durch, was du hier geschrieben hast:
"[...] eine Teilmenge $ \ [mm] \mathcal{B} \subset \mathcal{A} [/mm] $ nehmen, diese ist strikt geordnet bzgl. strikter Inklusion [...]"
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:02 Di 17.08.2010 | | Autor: | kalor |
Sorry....damit hat sich das ganze geklärt! Ich danke dir für deine Geduld!
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:22 So 15.08.2010 | | Autor: | kalor |
Mit der, hoffentlich besser erklärten Aufgabenstellung, brauche ich also eure Hilfe um zu zeigen, dass jede solche strikt geordnete Teilmenge eine obere Schranke besitzt!
Wie findet man diese?
Den Versuch mit der "Vereinigungstechnick habe ich ja bereits skizziert, allerdings denke ich, dass dies nicht zum Ziel führt. Danke für die Hilfe!
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