Züge < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Drei Personen steigen in einen Zug, der aus drei durchnumerierten Waggons bestehe. Jeder wählt unabh. von den anderen einen Waggon aus und setzt sich hinein. Bezeichne [mm]X_i[/mm] die Anzahl der Personen in Waggon [mm]i, i=1,2,3[/mm]. Geben Sie ein Modell an und bestimmen Sie:
a) die gemeinsame Verteilung der ZVen [mm]X_1,X_2,X_3[/mm]
b) die Verteilung von [mm]X_1[/mm]
c) die Verteilung der Anzahl der leeren Waggons |
Hallo an alle Stoiker 
Stoch ist so eine Sache ...
Aber mal meine Gedanken:
Als Modell habe ich mir gedacht, ich nehme [mm]\Omega=\{(w_1,w_2,w_3)\mid w_k\in\IN, \sum\limits_{k=1}^{3}w_k=3\}[/mm]
Hierbei sollen halt die [mm]w_k[/mm] die Anzahl der Personen in Waggon [mm]k[/mm] bezeichnen ...
Mir fällt nix schöneres ein.
Das kann man ja schnell aufzählen:
[mm]\Omega=\{(3,0,0),(2,1,0),(2,0,1),(1,2,0),(1,0,2),(1,1,1),(0,3,0),(0,2,1),(0,1,2),(0,0,3)\}[/mm]
b) scheint mir recht leicht, da muss ich ja nur die Wahrscheinlichkeiten addieren ...
[mm]P(X_1=0)=4\cdot{}\frac{1}{10}=\frac{2}{5}[/mm] (alles gleich wahrsch. und 4-mal keine Person in Waggon 1)
analog [mm]P(X_1=1)=\frac{3}{10}, P(X_1=2)=\frac{1}{5}[/mm] und [mm]P(X_1=3)=\frac{1}{10}[/mm]
Aber a) und c) bereiten kleine Kopfschmerzen.
Wie mache ich das bei a)?
Muss ich alle möglichen Kombinationen [mm]P(X_1=i,X_2=j,X_3=k)[/mm] mit [mm]i,j,k\in\{0,1,2,3\}[/mm] berechnen oder angeben?
Das erscheint mir sehr aufwendig ...
Und bei c)
Kann ich da die ZV [mm]X_i[/mm] nutzen oder mussich irgendwie eine neue ZV [mm]Y[/mm] einführen ...
Ach, das ist alles schlimm...
Danke für feedback!
Gruß
schachuzipus
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:09 Di 26.10.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo schachuzipus!
> Drei Personen steigen in einen Zug, der aus drei
> durchnumerierten Waggons bestehe. Jeder wählt unabh. von
> den anderen einen Waggon aus und setzt sich hinein.
> Bezeichne [mm]X_i[/mm] die Anzahl der Personen in Waggon [mm]i, i=1,2,3[/mm].
> Geben Sie ein Modell an und bestimmen Sie:
>
> a) die gemeinsame Verteilung der ZVen [mm]X_1,X_2,X_3[/mm]
>
> b) die Verteilung von [mm]X_1[/mm]
> c) die Verteilung der Anzahl der leeren Waggons
>
> Hallo an alle Stoiker
>
> Stoch ist so eine Sache ...
>
> Aber mal meine Gedanken:
>
> Als Modell habe ich mir gedacht, ich nehme
> [mm]\Omega=\{(w_1,w_2,w_3)\mid w_k\in\IN, \sum\limits_{k=1}^{3}w_k=3\}[/mm]
>
> Hierbei sollen halt die [mm]w_k[/mm] die Anzahl der Personen in
> Waggon [mm]k[/mm] bezeichnen ...
>
> Mir fällt nix schöneres ein.
Das kann man bestimmt auch so wählen, aber dann ist es doch kein Laplace-Raum.
Ich würde nehmen
[mm] $\Omega=\{1,2,3\}^3$
[/mm]
so dass [mm] $(\omega_1,\omega_2,\omega_3)\in\Omega$ [/mm] bedeutet: Fahrgast $i$ entscheidet sich für Wagon [mm] $\omega_i$.
[/mm]
Dann wäre es ein Laplace-Raum, und demonstriert auch, warum dein Omega keiner ist:
Dein Elementarereignis (3,0,0) entspricht meinem Elementarereignis (1,1,1), hat also W'keit 1/27
Aber dein Elementarereignis (1,1,1) entspricht meinen Ereignis [mm] $\{(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)\}$, [/mm] hat also W'keit 6/27.
> Das kann man ja schnell aufzählen:
>
> [mm]\Omega=\{(3,0,0),(2,1,0),(2,0,1),(1,2,0),(1,0,2),(1,1,1),(0,3,0),(0,2,1),(0,1,2),(0,0,3)\}[/mm]
>
> b) scheint mir recht leicht, da muss ich ja nur die
> Wahrscheinlichkeiten addieren ...
>
> [mm]P(X_1=0)=4\cdot{}\frac{1}{10}=\frac{2}{5}[/mm] (alles gleich
> wahrsch. und 4-mal keine Person in Waggon 1)
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") , siehe oben.
> analog [mm]P(X_1=1)=\frac{3}{10}, P(X_1=2)=\frac{1}{5}[/mm] und
> [mm]P(X_1=3)=\frac{1}{10}[/mm]
>
> Aber a) und c) bereiten kleine Kopfschmerzen.
>
> Wie mache ich das bei a)?
>
> Muss ich alle möglichen Kombinationen [mm]P(X_1=i,X_2=j,X_3=k)[/mm]
> mit [mm]i,j,k\in\{0,1,2,3\}[/mm] berechnen oder angeben?
Das sind doch nur 10, die du doch in deinem Modell gerade aufgezählt hast. Aus Symmetriegründen braucht man auch nur
[mm] $P(X_1=1,X_2=1,X_3=1)$
[/mm]
[mm] $P(X_1=1,X_2=2,X_3=0)$
[/mm]
[mm] $P(X_1=3,X_2=0,X_3=0)$
[/mm]
zu betrachten.
> Das erscheint mir sehr aufwendig ...
>
> Und bei c)
>
> Kann ich da die ZV [mm]X_i[/mm] nutzen oder mussich irgendwie eine
> neue ZV [mm]Y[/mm] einführen ...
Man kann sicher die [mm] $X_i$ [/mm] verwenden, in jedem Fall handelt es sich aber um eine neue ZV. Für einfacher halte ich es aber, diese direkt auf [mm] $\Omega$ [/mm] zu definieren:
Und [mm] $P(Y=0)=P(\{(1,2,3),\ldots\})=\ldots, P(Y=1)=P(\{(1,1,2),\ldots\})=\ldots, P(Y=2)=\ldots$ [/mm] ist doch auch schnell berechnet.
> Ach, das ist alles schlimm...
Augen zu und durch
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
Hallo Marc und danke für deinen guten Beitrag!
Danke für deine Tipps.
Ich hatte in meinem bisherigen mathem. Leben noch keinen Kontakt mit der Stochastik und tue mich irgendwie (noch) schwer(er) als in anderen Disziplinen.
Ich versuchte hier einen "naiven" Ansatz.
Deine Wahl von [mm]\Omega[/mm] ist auf den ersten schnellen Blick besser.
Ich "zieh's mir mal rein"
Einstweilen: Merci!
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
