Zufallsexperimente m. Oktaeder < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:42 Sa 14.04.2007 | | Autor: | xanaimb |
| Aufgabe | Gegeben sind fünf regelmäßige Oktaeder, für deren acht Begrenzungsflächen die Laplace-Bedingung gilt. Drei dieser Oktaeder tragen auf ihren Begrenzungsflächen die Augenzahlen 1,1,2,2,2,2,3,3 (Typ I); zwei der Oktaeder tragen die Augenzahlen 1,1,1,1,2,2,2,3 (Typ II). Sonst unterscheiden sich die Oktaeder nicht.
1. Diese fünf Oktaeder werden in eine Urne gelegt.
Das Zufallsexperiment besteht darin, zuerst ein Oktaeder aus der Urne zu ziehen, es anschließend zu werfen und die oben liegende Zahl x abzulesen.
a) Stellen Sie das Zufallsexperiment übersichtlich, z.B. mit Hilfe eines Baumdiagrammes dar. Bestätigen Sie, daß für die Wahrscheinlichkeit, die Augenzahl x zu erhalten, folgendes gilt:
x=1 P(x)= [mm] \frac{7}{20} [/mm]
x=2 P(x)= [mm] \frac{9}{20} [/mm]
x=3 P(x)= [mm] \frac{1}{5} [/mm]
b) Das Zufallsexperiment wird nun dreimal wiederholt (das gezogene Oktaeder wird also jedesmal in die Urne zurückgemischt). Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
[mm] E_1: [/mm] "Genau einmal tritt die Augenzahl 2 auf",
[mm] E_2: [/mm] "Mindestens zweimal tritt die Augenzahl 3 auf",
[mm] E_3: [/mm] "Die Augensumme beträgt mindestens 8".
c) Wie oft muß man das Zufallsexperiment (Ziehen eines Oktaeders aus der Urne, Werfen dieses Oktaeders) wiederholen, damit man mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99% mindestens einmal die Augenzahl 1 oder 3 erhält? |
Ich habe mich recht lange mit der Aufgabe beschäftigt, habe aber keine Lösungen und wüsste gerne ob ich richtig gerechnet habe.
1a)
Typ I: 1 [mm] \frac{2}{8} [/mm] = [mm] \frac{1}{4} [/mm] * [mm] \frac{3}{5} [/mm] = [mm] \frac{3}{20} [/mm]
2 [mm] \frac{4}{8} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] * [mm] \frac{3}{5} [/mm] = [mm] \frac{3}{10}
[/mm]
3 [mm] \frac{2}{8} [/mm] = [mm] \frac{1}{4} [/mm] * [mm] \frac{3}{5} [/mm] = [mm] \frac{3}{20} [/mm]
Typ II: 1 [mm] \frac{4}{8} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] * [mm] \frac{2}{5} [/mm] = [mm] \frac{2}{10}= \frac{1}{5} [/mm]
2 [mm] \frac{3}{8} [/mm] * [mm] \frac{2}{5} [/mm] = [mm] \frac{6}{40} [/mm] = [mm] \frac{3}{20}
[/mm]
3 [mm] \frac{1}{8} [/mm] * [mm] \frac{2}{5} [/mm] = [mm] \frac{2}{40} [/mm] = [mm] \frac{1}{20}
[/mm]
=> 1: [mm] \frac{3}{20} [/mm] + [mm] \frac{1}{5} [/mm] = [mm] \frac{3}{20} [/mm] + [mm] \frac{4}{20} [/mm] = [mm] \frac{7}{20} [/mm]
2: [mm] \frac{3}{10}+ \frac{3}{20} [/mm] = [mm] \frac{6}{20} [/mm] + [mm] \frac{3}{20} [/mm] = [mm] \frac{9}{20} [/mm]
3: [mm] \frac{3}{20} [/mm] + [mm] \frac{1}{20} [/mm] = [mm] \frac{4}{20} [/mm] = [mm] \frac{1}{5} [/mm]
b)
Treffer:= "2"; n= 3; p= [mm] \frac{9}{20} [/mm]
[mm] E_1: [/mm] P(Z=1)= {3 [mm] \choose [/mm] 1} [Binominalkoeffizient 1 aus 3, irgendwie klappt das mit der Darstellung nicht] * [mm] \left( \bruch{9}{20} \right)^1 [/mm] * [mm] \left( \bruch{11}{20} \right)^2= [/mm] 3 * [mm] \bruch{9}{20} [/mm] * [mm] \left( \bruch{11}{20} \right)^2 \approx [/mm] 40,8%
Treffer:= "3"; n=3; p= [mm] \frac{1}{5}
[/mm]
[mm] E_2: [/mm] P(Z [mm] \ge [/mm] 2) = 1 - P(Z [mm] \le [/mm] 1) = 1-0,89600 [mm] \approx [/mm] 10,4%
Augensumme [mm] \ge [/mm] 8 => 233,323,332 und 333
[mm] E_3: \frac{9}{20} [/mm] * [mm] \frac{1}{5} [/mm] * [mm] \frac{1}{5} [/mm] * 3 + [mm] \frac{1}{5} [/mm] * [mm] \frac{1}{5} [/mm] * [mm] \frac{1}{5}= \frac{1}{125} [/mm] + [mm] \frac{9}{500} [/mm] * 3 = [mm] \frac{31}{500} \approx [/mm] 6,2%
c)
Augenzahl 1 oder 3: p= [mm] \frac{7}{20} [/mm] + [mm] \frac{1}{5} [/mm] = [mm] \frac{7}{20} [/mm] + [mm] \frac{4}{20} [/mm] = [mm] \frac{11}{20}
[/mm]
P(Z [mm] \ge [/mm] 1) > 0,99
1 - P(Z=0) > 0,99
1- [mm] \left( \bruch{9}{20} \right)^n [/mm] > 0,99
- [mm] \left( \bruch{9}{20} \right)^n [/mm] > - 0,01
[mm] \left( \bruch{9}{20} \right)^n [/mm] < 0,01
n * ln [mm] \frac{9}{20} [/mm] < ln 0,01
n > [mm] \frac{ln 0,01}{ln \frac{9}{20}}
[/mm]
n > 5,7
[mm] n_0 \ge [/mm] 6
=> Das Zufallsexperiment muss mindestens sechs Mal wiederholt
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:09 Sa 14.04.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
soweit ich die Aufgabe gerade überblickt habe, sehen deine Rechnungen korrekt aus.
Liebe Grüße,
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:22 Sa 14.04.2007 | | Autor: | xanaimb |
Vielen Dank für die Hilfe!
Viele Grüße
Alexandra
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