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Forum "Uni-Stochastik" - Zufallsvariable mit Verteilung
Zufallsvariable mit Verteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Zufallsvariable mit Verteilung: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:12 Fr 10.06.2011
Autor: Steffi20

Aufgabe
Es sei Y : $ [mm] \Omega [/mm] $ /to  R eine stetige Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion
FY (x) =   0         ; falls x [mm] \le [/mm] 0;
       = 1 - e^(-x²) ; falls x > 0:
Bestimmen Sie die Dichte von Z [mm] :=\wurzel{Y} [/mm] .

Hallo,

ich habe ein Verständnisproblem mit der Bedeutung von  Dichte von Z [mm] :=\wurzel{Y}. [/mm]
Kann mir bitte jemand weiterhelfen?

Viele Grüße
Steffi


PS.:Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Steffi

        
Bezug
Zufallsvariable mit Verteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:23 Fr 10.06.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Es sei Y : [mm]\Omega[/mm] /to  R eine stetige Zufallsvariable mit
> Verteilungsfunktion
>  FY (x) =   0         ; falls x [mm]\le[/mm] 0;
>         = 1 - e^(-x²) ; falls x > 0:

>  Bestimmen Sie die Dichte von Z [mm]:=\wurzel{Y}[/mm] .
>  Hallo,
>  
> ich habe ein Verständnisproblem mit der Bedeutung von  
> Dichte von Z [mm]:=\wurzel{Y}.[/mm]
>  Kann mir bitte jemand weiterhelfen?
>  
> Viele Grüße
>  Steffi


Hallo Steffi,

wir hatten da gerade eine ziemlich analoge Frage
in Bezug auf eine andere Verteilung.
Schau da zuerst mal nach !

LG    Al-Chw.


Bezug
                
Bezug
Zufallsvariable mit Verteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:44 Mo 13.06.2011
Autor: Steffi20

Hallo,
Da ich [mm] Z:=\wurzel{Y} [/mm] betrachte, muss ich dann die Wurzel aus der Verteilungsfunktion ziehen?
Lautet damit meine neue Verteilungsfunktion:
[mm] f(n)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \mbox{ kleinergleich 0} \\ \wurzel{1-e^(-x^2)}, & \mbox{für } x \mbox{ größer 0} \end{cases} [/mm]
????
Dann muss ich doch die Funktion von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] +\infty [/mm] betrachten?
Dabei erhalte ich doch für die Werte von 0 bis [mm] -\infty [/mm] den Wert 0 und für die Werte von 0 bis [mm] +\infty \wurzel{-\infty}. [/mm] Das ist ja nicht in den reellen Zahlen lösbar. Wo liegt da der Fehler?
Mit freundlichen Grüßen
Steffi

Bezug
                        
Bezug
Zufallsvariable mit Verteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:11 Mo 13.06.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo,
>  Da ich [mm]Z:=\wurzel{Y}[/mm] betrachte, muss ich dann die Wurzel
> aus der Verteilungsfunktion ziehen?

Auf keinen Fall !

>  Lautet damit meine neue Verteilungsfunktion:
>  [mm]f(n)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \le\ 0 \\ \wurzel{1-e^(-x^2)}, & \mbox{für } x >0 \end{cases}[/mm]      [notok]

>  Dann muss ich doch die Funktion von [mm]-\infty[/mm] bis [mm]+\infty[/mm]
> betrachten?
>  Dabei erhalte ich doch für die Werte von 0 bis [mm]-\infty[/mm]
> den Wert 0 und für die Werte von 0 bis [mm]+\infty \wurzel{-\infty}.[/mm]
> Das ist ja nicht in den reellen Zahlen lösbar. Wo liegt da
> der Fehler?
>  Mit freundlichen Grüßen
>  Steffi

Für die (kumulierte) Verteilungsfunktion [mm] F_Z [/mm] der Funktion
[mm] Z=\wurzel{Y} [/mm] gilt:

     $\ [mm] F_Z(x)\ [/mm] =\ [mm] P(Z\le [/mm] x)\ =\ [mm] P(\sqrt{Y}\le [/mm] x)\ =\ [mm] P(Y\le x^2)\ [/mm] =\ [mm] F_Y(x^2)$ [/mm]

(das macht natürlich nur für [mm] x\ge0 [/mm] Sinn, weil wegen [mm] Z=\sqrt{Y} [/mm]
weder negative Y noch Z in Frage kommen)
Hast du die Funktion [mm] F_Z [/mm] , brauchst du sie nur noch abzuleiten,
um die gesuchte Dichtefunktion zu erhalten.

LG    Al-Chw.  


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