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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:49 Sa 22.04.2006 | | Autor: | t.sbial |
Hallo allerseits, es geht eigentlich um ein Seminar über lineare Darstellungen aufgebaut an dem Buch von J.-P. Serre: Linear Representations of Finite Groups und da muss ich nun Das Tensorprodukt machen. Und ich hab nun folgendes Problem: Sei V ein K-Vektorraum (endlich dimensional) und sei [mm] \delta [/mm] ein Automorphismus von V [mm] \otimes [/mm] V für den gilt [mm] \delta(x \otimes [/mm] y)=y [mm] \otimes [/mm] x [mm] \forall [/mm] x,y in V dann ist
V [mm] \otimes [/mm] V=Alt²(V) [mm] \oplus [/mm] Sym²(V)
Wobei Sym²(V) die Menge aller symmetrischen 2-Formen ist. Nun dann steht da noch dass falls [mm] (e_{i}:i=1..n) [/mm] eine Basis von V ist dann ist [mm] (e_{i}\otimes e_{j}+e_{j}\otimes e_{i})_{i \le j} [/mm] eine Basis von Sym²(V) und
[mm] (e_{i}\otimes e_{j}-e_{j}\otimes e_{i})_{i < j} [/mm] eine von Alt²(V) ist. Nun warum das alles so steht da leider nicht. Und das ist mein Problem! Meine Frage ist nun ob der Beweis von dem oben stehenden etwas längeres ist oder nicht? denn die meisten Teilnehmer an dem Seminar sind erst im 2. Semester.
Gruß T.Sbial
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Grüße!
Nun ja, wenn man 2-Formen bzgl. der gegebenen Basis als Matrizen aufschreibt, dann steht da ja einfach nur, dass jede $n [mm] \times [/mm] n$ Matrix eindeutig geschrieben werden kann als Summe einer symmetrischen und einer schiefsymmetrischen Matrix - was nach einem kleinen Argument auch einem Studenten im 2. Semester einleuchten kann. 
Im Grunde benötigst Du die Notation und Theorie des Tensorproduktes ja nicht - übersetze einfach alles in die Sprache der Bilinearformen, dann sollte es auch gut zu verstehen sein.
Lars
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:46 Mi 26.04.2006 | | Autor: | t.sbial |
Erstmal vielen Dank für die Anwort aber,zu
> Nun ja, wenn man 2-Formen bzgl. der gegebenen Basis als
> Matrizen aufschreibt, dann steht da ja einfach nur, dass
> jede [mm]n \times n[/mm] Matrix eindeutig geschrieben werden kann
> als Summe einer symmetrischen und einer schiefsymmetrischen
> Matrix - was nach einem kleinen Argument auch einem
> Studenten im 2. Semester einleuchten kann.
Das Argument ist auch klar aber dann bräuchte ich sowas wie [mm] V\otimes V\cong M_{n\times n}(K) [/mm] und das wäre dann das eigentliche Problem! Ich weiß u.a, dass [mm] (Mult²(V))^{\*}\cong V\otimes\\V [/mm] und wegen [mm] Mult²(V)\cong M_{n\times n}(K) [/mm] kann ich ja folgern [mm] (M_{n\times n}(K))^{\*}\cong V\otimes\\V. [/mm] und wegen [mm] W^{\*}\cong\\W [/mm] für beliebige Vektorräume gilt dann [mm] V\otimes V\cong M_{n\times n}(K). [/mm] Kann ich das so machen? Falls nicht wie dann? Und dann bleibt immer noch das Problem mit den Basen, wie kommt man auf diese?
Gruß
T.Sbial
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Fr 28.04.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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