Zunahmepunkte als perf. Menge < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
Zunächst eine Definition:
Gegeben sei eine Funktion f:
[mm] f: IR \rightarrow IR[/mm]
Ein reeller Punkt y heißt "Zunahmepunkt" zu dieser Funktion, wenn gilt:
Es gibt ein c > 0, so dass für alle x mit
[mm] y - c < x < y [/mm]
folgt:
[mm] f(x) \le f(y)[/mm]
und für alle x mit
[mm]y < x < y + c [/mm]
gilt:
[mm] f(y) \le f(x)[/mm]
Beweisen Sie:
Wenn zu oben definierter Funktion der Punkt "a" ein Zunahmepunkt sei, dann gibt es in jeder Umgebung um a einen weiteren Zunahmepunkt, d.h. "a" ist ein Häufungspunkt (Die Menge aller Zunahmepunkt ist dann also perfekt.).
Schon länger hadere ich mit dieser Aufgabe; für Hilfe wäre ich sehr dankbar. Die Frage habe ich auch in einem anderen Forum gestellt, aber keine Antwort erhalten (siehe unten).
Man muss berücksichtigen, dass sich die Definition des Zunahmepunktes nur auf eine "lokale" Eigenschaft bezieht; d.h., die Funktion muss in "a" nicht monoton sein (dies sieht man z.B. an den Sägezahn-Funktionen von Weierstraß, die in keinem Punkt monoton sind).
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php threadid=422906&hilightuser=22999
Gruß
Christian
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Hallo,
entschuldigung, ich habe eine wichtige Information unterschlagen.
Die Funktion muss stetig sein, also nochmals die Frage:
Gegeben sei eine stetige Funktion:
[mm] f: IR \rightarrow IR[/mm]
Beweisen Sie:
Wenn zu oben definierter Funktion der Punkt "a" ein Zunahmepunkt (Zunahmepunkt: siehe Definition des Einleitungsbeitrags) sei, dann gibt es in jeder Umgebung um "a" einen weiteren Zunahmepunkt, d.h. "a" ist ein Häufungspunkt (Die Menge aller Zunahmepunkt ist dann also perfekt.).
Gruß
Christian
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:54 Fr 09.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo Christian,
> Hallo,
>
> entschuldigung, ich habe eine wichtige Information
> unterschlagen.
> Die Funktion muss stetig sein, also nochmals die Frage:
>
> Gegeben sei eine stetige Funktion:
> [mm]f: IR \rightarrow IR[/mm]
>
> Beweisen Sie:
> Wenn zu oben definierter Funktion der Punkt "a" ein
> Zunahmepunkt (Zunahmepunkt: siehe Definition des
> Einleitungsbeitrags) sei, dann gibt es in jeder Umgebung um
> "a" einen weiteren Zunahmepunkt, d.h. "a" ist ein
> Häufungspunkt (Die Menge aller Zunahmepunkt ist dann also
> perfekt.).
ja, das war eine mehr als wichtige Voraussetzung, die gefehlt hat. Die zusätzliche Voraussetzung der Stetigkeit benötigt man übrigens sicher auch in wenigstens einer Umgebung von [mm] $a\,,$ [/mm] wie man mit $g(x):=x*f(x)$ und
[mm] $$f(x):=\begin{cases} -1, & \mbox{für } x \in (-\infty,0) \setminus \IQ \\0 , & \mbox{für } x \in \IQ\\ 1,& \text{für }x \in (0,\infty) \setminus \IQ\end{cases}$$
[/mm]
(wie in dem eben erwähnten Gegenbeispiel) erkennt:
Denn hier ist [mm] $x=0\,$ [/mm] sowohl Stetigkeits- als auch Zunahmepunkt von [mm] $\bf{g}\,,$ [/mm] aber man findet keine weiteren Zunamepunkte für [mm] $g\,.$ [/mm] (Analoge Überlegungen zu eben; wesentlich dabei ist natürlich auch die Dichtheit von [mm] $\IQ$ [/mm] in [mm] $\IR$.)
[/mm]
P.S.:
Ich denke, dass man hier durchaus so etwas wie "stetige Bilder von Intervallen sind wieder Intervalle" beim Beweis braucht. Und vll. kann man dann auch benutzen, dass jedes nichtleere offene Intervall ein (auch um den Mittelpunkt des Ausgangsintervalls symmetrisches) kompaktes Intervall enthält.
Beste Grüße,
Marcel
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Hallo,
danke fürs Engagement.
Solche Ansätze liefen bei mir bisher immer ins Leere; ich habe z.B. auch Intervallschachtelungen in mehreren Varianten konstruiert, um einen weiteren Zunahmepunkt zu finden. Auch der Überdeckungssatz von Heine-Borel scheiterte.
Ebenso "Folgen" als Lösungsweg führten mich nicht weiter; hier hatte ich in einem Fall probiert (Widerspruchsbeweis unter der Annahme, dass der Zunahmepunkt "a" keinen Häufungspunkt ist), eine Folge zu entwickeln, die gegen einen Punkt konvergiert, in dem f dann nicht stetig sein kann, was den erwünschen Widerspruch zur Voraussetzung bringen sollte.
Kurz gesagt: Für einen weiteren Hinweis wäre ich sehr dankbar.
Gruß und schönes Wochenende
Christian
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:55 Fr 09.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> danke fürs Engagement.
>
> Solche Ansätze liefen bei mir bisher immer ins Leere; ich
> habe z.B. auch Intervallschachtelungen in mehreren
> Varianten konstruiert, um einen weiteren Zunahmepunkt zu
> finden. Auch der Überdeckungssatz von Heine-Borel
> scheiterte.
>
> Ebenso "Folgen" als Lösungsweg führten mich nicht weiter;
> hier hatte ich in einem Fall probiert (Widerspruchsbeweis
> unter der Annahme, dass der Zunahmepunkt "a" keinen
> Häufungspunkt ist), eine Folge zu entwickeln, die gegen
> einen Punkt konvergiert, in dem f dann nicht stetig sein
> kann, was den erwünschen Widerspruch zur Voraussetzung
> bringen sollte.
>
> Kurz gesagt: Für einen weiteren Hinweis wäre ich sehr
> dankbar.
ich kenne den Beweis natürlich auch nicht. Aber was mir so einfällt:
Nehmen wir an, [mm] $a\,$ [/mm] sei bzgl. stetigem [mm] $f\,$ [/mm] Zunahmepunkt.
Betrachten wir nun [mm] $f\,$ [/mm] auf dem kompakten Intervall [mm] $A:=[a-0,5,\;a]\,.$ [/mm] Sei [mm] $M\,$ [/mm] die Menge aller lokalen Minimalstellen von [mm] $f_{|A}\,.$ [/mm] Wegen der Stetigkeit nimmt [mm] $f_{|A}$ [/mm] an mindestens einer Stelle sein globales Minimum an, was natürlich auch ein lokales ist, und daher ist $M [mm] \not= \emptyset\,.$ [/mm] Ferner ist [mm] $M\,$ [/mm] (durch [mm] $a\,$) [/mm] nach oben beschränkt. Also existiert [mm] $s:=\text{sup } [/mm] M [mm] \le a\,.$
[/mm]
Jetzt bin ich mir nicht ganz sicher, aber ich denke, dass man so argumentieren kann:
1. Fall:
Ist $s < [mm] a\,,$ [/mm] so ist [mm] $f_{|(s,a)}$ [/mm] wegen der Stetigkeit und der Zunahmeeigenschaft (nicht notwendig streng) monoton wachsend, so dass jeder Punkt $x [mm] \in [/mm] (s,a)$ Zunahmepunkt ist.
2. Fall:
Für [mm] $s=a\,$ [/mm] existiert ja eine streng monoton wachsende Folge [mm] $(a_k)_k$ [/mm] in [mm] $M\,,$ [/mm] die gegen [mm] $s\,$ [/mm] konvergiert. Für [mm] $A_k:=[a_k,a]$ [/mm] nimmt aber [mm] $f_{|A_k}$ [/mm] auch sein Maximum an, so dass wir dann mit [mm] $\text{Max}_k$ [/mm] die Menge aller lokalen Maximalstellen von [mm] $f_{|A_k}$ [/mm] bezeichnen können, und diese Menge ist dann (wegen der Stetigkeit von [mm] $f_{A_k}$ [/mm] und der Kompaktheit von [mm] $A_k$) [/mm] nichtleer. Zudem ist [mm] $\text{Max}_k$ [/mm] natürlich durch [mm] $a_k$ [/mm] nach unten beschränkt und dann existiert [mm] $b_k:=\text{inf Max}_k \in A_k\,.$ [/mm] Ist nun [mm] $b_k [/mm] > [mm] a_k\,,$ [/mm] so muss [mm] $f\,$ [/mm] auf [mm] $(a_k,b_k)$ [/mm] monoton wachsend sein und dann finden wir dort Zunahmepunkte (z.B. den Mittelpunkt). Für [mm] $b_k=a_k$ [/mm] müssen wir uns noch was einfallen lassen.
Du siehst aber:
So 100% klar ist mir der Beweis leider auch (noch) nicht. Außerdem sollten wir uns überlegen, ob [mm] $M\,$ [/mm] und im zweiten Fall die Mengen [mm] $\text{Max}_k$ [/mm] vll. abgeschlossen sind. Jedenfalls wäre es zumindest schön, zu wissen, ob $s [mm] \in [/mm] M$ und [mm] $b_k \in \text{Max}_k$ [/mm] gilt?
(Ich glaube allerdings, dass schonmal $s [mm] \in [/mm] M$ nicht gelten muss. Ebenso würde ich gefühlsmäßig sagen, dass im allgemeinen [mm] $b_k \notin \text{Max}_k$ [/mm] gilt. Ich habe aber das Gefühl, dass für [mm] $b_k=a_k$ [/mm] im zweiten Fall, weil [mm] $a_k$ [/mm] ja ein lokales Minimum ist, man durchaus ein Argument findet, dass [mm] $f\,$ [/mm] "rechts von [mm] $a_k$ [/mm] und sehr nahe an [mm] $a_k$" [/mm] dann stückweise konstant sein muss. )
P.S.:
Auch, wenn hier vielleicht noch einige Fehler stehen, vll. führt es doch zu einer ausbaufähigen Idee?
Beste Grüße,
Marcel
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Hallo,
vielen Dank. Wow, Respekt, in diese Richtung hatte ich noch nicht gedacht.
Gruß
Christian.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:49 Mo 12.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo Christian,
> Hallo,
>
> vielen Dank. Wow, Respekt, in diese Richtung hatte ich noch
> nicht gedacht.
>
> Gruß
> Christian.
hast Du den Fall [mm] $b_k=a_k$ [/mm] in den Griff bekommen? Falls nicht, muss man sicher unterscheiden, ob [mm] $f\,$ [/mm] "rechts nahe an [mm] $a_k$ [/mm] konstant ist" (dann ist es natürlich einfach, einen Zunahmepunkt zu finden) oder nicht. Im zweiten Fall kann man vielleicht wieder mit Teilfolgen argumentieren, so dass man jedenfalls irgendwie "aufeinanderfolgende lokale Minimum- und Maximumstellen" findet, so dass man auch da weiterkommt.
P.S.:
Mir erscheint das ganze zwar sehr plausibel, aber es ist noch zu prüfen, ob wir wirklich "alles mögliche" abgeklappert haben. Meine Argumente scheinen ja "anschaulich plausibel", aber wenn man es vernünftig aufschreibt, sieht man, ob da nicht doch etwas fehlt oder ich es mir bei einem Fall "zu leicht" gemacht habe.
Beste Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 Fr 09.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo Christian,
> Frage
> Hallo,
>
> Zunächst eine Definition:
>
> Gegeben sei eine Funktion f:
> [mm]f: IR \rightarrow IR[/mm]
>
> Ein reeller Punkt y heißt "Zunahmepunkt" zu dieser
> Funktion, wenn gilt:
> Es gibt ein c > 0, so dass für alle x mit
> [mm]y - c < x < y[/mm]
> folgt:
> [mm]f(x) \le f(y)[/mm]
> und für alle x mit
> [mm]y < x < y + c[/mm]
> gilt:
> [mm]f(y) \le f(x)[/mm]
>
> Beweisen Sie:
> Wenn zu oben definierter Funktion der Punkt "a" ein
> Zunahmepunkt sei, dann gibt es in jeder Umgebung um a einen
> weiteren Zunahmepunkt, d.h. "a" ist ein Häufungspunkt (Die
> Menge aller Zunahmepunkt ist dann also perfekt.).
>
> Schon länger hadere ich mit dieser Aufgabe; für Hilfe
> wäre ich sehr dankbar. Die Frage habe ich auch in einem
> anderen Forum gestellt, aber keine Antwort erhalten (siehe
> unten).
> Man muss berücksichtigen, dass sich die Definition des
> Zunahmepunktes nur auf eine "lokale" Eigenschaft bezieht;
> d.h., die Funktion muss in "a" nicht monoton sein (dies
> sieht man z.B. an den Sägezahn-Funktionen von Weierstraß,
> die in keinem Punkt monoton sind).
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.matheboard.de/thread.php
> threadid=422906&hilightuser=22999
ich denke, dass diese Aussage (ohne weitere zusätzliche Voraussetzungen, wie etwa "stückweise Stetigkeit" nicht beweisbar ist. Denn:
Betrachte
$$f: [mm] \IR \to \{-1,0,1\}$$
[/mm]
mit
[mm] $$f(x):=\begin{cases} -1, & \mbox{für } x \in (-\infty,0) \setminus \IQ \\0 , & \mbox{für } x \in \IQ\\ 1,& \text{für }x \in (0,\infty) \setminus \IQ\end{cases}\,.$$
[/mm]
Hier ist [mm] $x=0\,$ [/mm] ein Zunahmepunkt, denn es gilt sogar für jedes $c > [mm] 0\,,$ [/mm] dass [mm] $f((-c,0))=\{-1,0\}$ [/mm] und [mm] $f((0,c))=\{0,1\}\,,$ [/mm] d.h.
$$f(x) [mm] \le [/mm] f(0)=0 [mm] \text{ für alle }-c [/mm] < x < 0$$
und
$$f(0) [mm] \le [/mm] f(x)=0 [mm] \text{ für alle }0 [/mm] < x < [mm] c\,.$$
[/mm]
Aber:
Für $x [mm] \in (0,\infty) \cap \IQ$ [/mm] liegt, egal welche noch so kleine [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] man um [mm] $x\,$ [/mm] betrachtet, links von [mm] $x\,$ [/mm] stets Argumente mit Funktionswert [mm] $1\,,$ [/mm] welcher somit [mm] $\,> [/mm] f(x)=0$ ist. Durch analoge Betrachtung von "Rechtsumgebungen" kann auch kein $x [mm] \in (-\infty,0) \cap \IQ$ [/mm] Zunahmepunkt sein.
Ebenso: Ist $x > 0$ irrational, so ist [mm] $f(x)=1\,,$ [/mm] und in jeder (noch so kleinen) Rechtsumgebung findet man ein rationales [mm] $q\,,$ [/mm] so dass $f(q)=0 < [mm] f(x)\,$ [/mm] ist. Also ist auch [mm] $(0,\infty) \cap (\IR \setminus \IQ)$ [/mm] "Zunahmepunktfrei", insgesamt also [mm] $(0,\infty)$ [/mm] "Zunahmepunktfrei".
Analog ist aber auch (durch Betrachtung entsprechender Linksumgebungen) jedes $x [mm] \in (-\infty,0) \cap (\IR \setminus \IQ)$ [/mm] Zunahmepunktfrei.
D.h., obiges [mm] $f\,$ [/mm] enthält genau einen Zunahmepunkt, nämlich $x=0$ (es gibt keinen weiteren, da [mm] $(-\infty,0) \cup (0,\infty)$ [/mm] bzgl. [mm] $f\,$ [/mm] "Zunahmepunktfrei" ist).
Hast Du vll. eine Zusatzvoraussetzung verschwiegen, wie z.B., dass [mm] $a\,$ [/mm] zudem Stetigkeitspunkt (für [mm] $f\,$) [/mm] sei?
Beste Grüße,
Marcel
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Hallo,
danke für die Mühe, leider kam meine vorherige Korrektur etwas zu spät. Ja, ich habe die Eigenschaft der Stetigkeit unterschlagen.
Gruß
Christian
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