Zuordnung von Zahlen < Kombinatorik < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:28 Fr 08.06.2007 | | Autor: | xxxyyy |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich habe keine Aufgabenstellung, die ich abtippen könnte, da es sich hierbei um ein Problem handelt, was aus der Praxis heraus entstanden ist.
Ich möchte die sechs Zahlen 1 2 3 4 5 6 als Zweiergruppen in drei Behälter einordnen, also z. B. 1,2 3,4 5,6. Nun suche ich die Anzahl der Zuordnungsmöglichkeiten, wobei sich die Zahlen nicht wiederholen dürfen. Folgende Zuordnung wäre nicht möglich: 1,2 1,3 4,5 da die 1 doppelt vorkommen würde. Außerdem ist es egal, in welchem Behälter sich die Zahlen befinden, d. h. die Zuordnungen 1,2 3,4 5,6 und 3,4 5,6 1,2 sind identisch und sollen nur ein Mal gezählt werden. Mögliche Zuordnungen wären u. a. 1,2 3,4 5,6 - 1,2 3,5 4,6 - 1,2 3,6 4,5 ...
Meine Lösungsansätze:
Es handelt sich auf jeden Fall um ein Problem ohne Wiederholung.
Ich weiß zu diesem vereinfachten Beispiel durch Probieren, dass es 15 Zuordnungsmöglichkeiten nach den von mir beschriebenen Bedingungen gibt.
Wenn man die identischen Zuordnungen nicht beachten würde, hätte man 90 Zuordnungsmöglichkeiten. Ich würde es dann nämlich als 2 Kugeln aus 6 ziehen, ohne Zurücklegen, für den ersten Behälter definieren. Dann 2 Kugeln aus 4 ziehen, ohne Zurücklegen, für den zweiten Behälter und 2 Kugeln aus 2 ziehen für den dritten - also eine Kombination:
[mm] {6 \choose 2} * {4 \choose 2} * {2 \choose 2} = 90 [/mm]
Davon muss man dann irgendwie die identischen Möglichkeiten abziehen.
Und da komm ich nicht so recht weiter. Ich denke nicht, dass es so schwierig ist, aber ich glaub, ich steh auf'm Schlauch oder so... :-(
In der Praxis möchte ich die Zahlen 1 bis 256 in 4 Behälter (a 64 Stück) zuordnen und die Anzahl der Zuordnungsmöglichkeiten ermitteln, weswegen eine Lösung durch Probieren natürlich nicht in Frage kommt.
Ich hoffe, dass ich mich verständlich ausgedrückt habe - sonst immer her mit den Nachfragen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:32 Fr 08.06.2007 | | Autor: | statler |
Guetn Morgen!
> ich habe keine Aufgabenstellung, die ich abtippen könnte,
> da es sich hierbei um ein Problem handelt, was aus der
> Praxis heraus entstanden ist.
>
> Ich möchte die sechs Zahlen 1 2 3 4 5 6 als Zweiergruppen
> in drei Behälter einordnen, also z. B. 1,2 3,4 5,6. Nun
> suche ich die Anzahl der Zuordnungsmöglichkeiten, wobei
> sich die Zahlen nicht wiederholen dürfen. Folgende
> Zuordnung wäre nicht möglich: 1,2 1,3 4,5 da die 1 doppelt
> vorkommen würde. Außerdem ist es egal, in welchem Behälter
> sich die Zahlen befinden, d. h. die Zuordnungen 1,2 3,4 5,6
> und 3,4 5,6 1,2 sind identisch und sollen nur ein Mal
> gezählt werden. Mögliche Zuordnungen wären u. a. 1,2 3,4
> 5,6 - 1,2 3,5 4,6 - 1,2 3,6 4,5 ...
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> Meine Lösungsansätze:
> Es handelt sich auf jeden Fall um ein Problem ohne
> Wiederholung.
> Ich weiß zu diesem vereinfachten Beispiel durch Probieren,
> dass es 15 Zuordnungsmöglichkeiten nach den von mir
> beschriebenen Bedingungen gibt.
> Wenn man die identischen Zuordnungen nicht beachten würde,
> hätte man 90 Zuordnungsmöglichkeiten. Ich würde es dann
> nämlich als 2 Kugeln aus 6 ziehen, ohne Zurücklegen, für
> den ersten Behälter definieren. Dann 2 Kugeln aus 4 ziehen,
> ohne Zurücklegen, für den zweiten Behälter und 2 Kugeln aus
> 2 ziehen für den dritten - also eine Kombination:
> [mm]{6 \choose 2} * {4 \choose 2} * {2 \choose 2} = 90[/mm]
> Davon
> muss man dann irgendwie die identischen Möglichkeiten
> abziehen.
Mit 'abziehen' kommt man auf die falsche Spur. Aus einer Lösung entstehen 6 = 3! für dich gleichwertige, weil du die Behälter untereinander vertauschen (permutieren) kannst. Von den 90 berechneten führen je 6 auf die gleiche gesuchte Lösung. Also mußt du 90 durch 6 teilen.
Kennst du Geschichte von dem Schäfer, der seine Schafe zählen will. Weil ihm das von oben zu wuselig ist, hockt er sich hin und zählt die Beine. Aber dann muß er noch durch 4 teilen, weil immer 4 Beine zu einem Schaf gehören (zitiert nach U. Krengel).
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:19 Fr 08.06.2007 | | Autor: | xxxyyy |
Vielen Dank!
Das ist genau das, was ich meinte mit "ich steh' da irgendwie auf dem Schlauch" - auf die Sache mit den Permutationen bin ich auch schon gekommen, aber nicht darauf, durch die Permutationen zu teilen...
Also vielen Dank noch mal für die schnelle Antwort!!!
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