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Forum "Zahlentheorie" - Zusammengesetzte Zahl
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Zusammengesetzte Zahl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:32 Mi 22.10.2014
Autor: studentin3112

Aufgabe
Sei n [mm] \in \IN [/mm] eine zusammengesetzte Zahl. Sei p die kleinste Primzahl,die n teilt und sei [mm] p>\wurzel[3]{n}. [/mm]
Beweisen Sie, dass [mm] \bruch{n}{p} [/mm] eine Primzahl ist.

Hallo ;)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Da n eine zusammengesetzte Zahl ist, gilt n=a*p für ein n [mm] \in \IN [/mm] und p prim , p > [mm] \wurzel[3]{n}. [/mm]

Zu zeigen ist, dass [mm] \bruch{n}{p} [/mm] nur durch 1 und durch sich selbst teilbar ist.
Ich habe überlegt einen Widerspruchsbeweis zu machen.
Angaenommen es gibt ein x [mm] \in \IN [/mm] sodass [mm] \bruch{n}{p}=x*b, [/mm] wobei b [mm] \in \IN. [/mm]

Durch ein Lemma wissen wir, dass n einen Teiler d hat mit 1<d [mm] \le \wurzel{n}. [/mm] Daraus folgt, dass n=d*b für ein b [mm] \in \IN. [/mm]

Jetzt weiß ich schonmal dass [mm] p>\wurzel[3]{n} [/mm] und d [mm] \le \wurzel{n}. [/mm]

Weiter komme ich nicht. Hat jemand einen Tipp für ich ?

Danke
Lieben Gruß
Studentin



        
Bezug
Zusammengesetzte Zahl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:57 Mi 22.10.2014
Autor: abakus


> Sei n [mm]\in \IN[/mm] eine zusammengesetzte Zahl. Sei p die
> kleinste Primzahl,die n teilt und sei [mm]p>\wurzel[3]{n}.[/mm]
> Beweisen Sie, dass [mm]\bruch{n}{p}[/mm] eine Primzahl ist.
> Hallo ;)

>

> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

>

> Da n eine zusammengesetzte Zahl ist, gilt n=a*p für ein n
> [mm]\in \IN[/mm] und p prim , p > [mm]\wurzel[3]{n}.[/mm]

Hallo,
damit gilt insbesondere [mm]p^3>n[/mm], woraus [mm]p^2>\bruch{n}{p}[/mm] folgt.

>

> Zu zeigen ist, dass [mm]\bruch{n}{p}[/mm] nur durch 1 und durch sich
> selbst teilbar ist.
> Ich habe überlegt einen Widerspruchsbeweis zu machen.
> Angaenommen es gibt ein x [mm]\in \IN[/mm] sodass [mm]\bruch{n}{p}=x*b,[/mm]
> wobei b [mm]\in \IN.[/mm]

Element von n reicht nicht. x und b müssten für deinen Widerspruchsbeweis größer als 1 sein.
Aus [mm]p^2>\bruch{n}{p}[/mm] und [mm]\bruch{n}{p}=x*b,[/mm] folgt nun [mm]p^2>x*b,[/mm]
Hatten wir nicht aber laut Aufgabenstellung, dass p der kleinste Primteiler von n sein soll?
Gruß Abakus

PS: Wie weit bist du mit Teil 1) deines vorherigen Posts?
>

> Durch ein Lemma wissen wir, dass n einen Teiler d hat mit
> 1<d [mm]\le \wurzel{n}.[/mm] Daraus folgt, dass n=d*b für ein b [mm]\in \IN.[/mm]

>

> Jetzt weiß ich schonmal dass [mm]p>\wurzel[3]{n}[/mm] und d [mm]\le \wurzel{n}.[/mm]

>

> Weiter komme ich nicht. Hat jemand einen Tipp für ich ?

>

> Danke
> Lieben Gruß
> Studentin

>
>

Bezug
                
Bezug
Zusammengesetzte Zahl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:37 Do 23.10.2014
Autor: studentin3112


> > Sei n [mm]\in \IN[/mm] eine zusammengesetzte Zahl. Sei p die
>  > kleinste Primzahl,die n teilt und sei [mm]p>\wurzel[3]{n}.[/mm]

>  > Beweisen Sie, dass [mm]\bruch{n}{p}[/mm] eine Primzahl ist.

>  > Hallo ;)

>  >
>  > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen

>  > Internetseiten gestellt.

>  >
>  > Da n eine zusammengesetzte Zahl ist, gilt n=a*p für ein

> n
>  > [mm]\in \IN[/mm] und p prim , p > [mm]\wurzel[3]{n}.[/mm]

>  
> Hallo,
>  damit gilt insbesondere [mm]p^3>n[/mm], woraus [mm]p^2>\bruch{n}{p}[/mm]
> folgt.
>  
> >
>  > Zu zeigen ist, dass [mm]\bruch{n}{p}[/mm] nur durch 1 und durch

> sich
>  > selbst teilbar ist.

>  > Ich habe überlegt einen Widerspruchsbeweis zu machen.

>  > Angaenommen es gibt ein x [mm]\in \IN[/mm] sodass

> [mm]\bruch{n}{p}=x*b,[/mm]
>  > wobei b [mm]\in \IN.[/mm]

>  Element von n reicht nicht. x und b
> müssten für deinen Widerspruchsbeweis größer als 1
> sein.
>  Aus [mm]p^2>\bruch{n}{p}[/mm] und [mm]\bruch{n}{p}=x*b,[/mm] folgt
> nun [mm]p^2>x*b,[/mm]
>  Hatten wir nicht aber laut Aufgabenstellung, dass p der
> kleinste Primteiler von n sein soll?

Ja hatten wir.
aus [mm] x*b Liegt darin der Widerspruch ?

lg
studentin

Bezug
                        
Bezug
Zusammengesetzte Zahl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:00 Do 23.10.2014
Autor: MacMath


>  aus [mm]x*b
> ist auch [mm]\wurzel{x*b}[/mm] ein Teiler von n und ist kleiner als
> p.

Findest du, dass Wurzeln zur Teilbarkeit nach einer guten Idee aussehen?

>  Liegt darin der Widerspruch ?

Was abakus meinte, ist das Folgende:
Wenn [mm] $\frac{n}{p}$ [/mm] keine Primzahl ist, besitzt es eine Darstellung
[mm] $\frac{n}{p}=x*b$ [/mm] ($x,b>1$)

Du hast auch
$ [mm] p^2>x\cdot{}b, [/mm] $

Damit ist $p>x$ oder $p>b$, kann $p$ dann noch der kleinste Primteiler von $n$ sein?

LG
Daniel

Bezug
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