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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:09 So 28.06.2009 | | Autor: | Joan2 |
| Aufgabe | X = {1,2,3,4,5}
[mm] \mathcal{B} [/mm] = {{1},{1,2},{1,2,3},{1,2,3,4},{5}}
i) Ist X zusammenhängend?
ii) Ist {1,2,3,4} versehen mit der Unterraumtopologie, zusammenhängend?
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Ich habe eigentlich nur eine Verständnisfrage zur ii):
Was bedeutet genau das Wort "versehen"? Ich kann mir das irgendwie nicht richtig vorstellen.
Bei i) kann ich sagen X = {1,2,3,4} [mm] \cup [/mm] {5} = [mm] \emptyset [/mm] , deswegen ist X nicht zusammenhängend, aber bei der ii) weiß ich nicht genau von was ich die Vereinigung bilden soll, weil ich das Wort nicht so richtig verstehe.
Kann mir das jemand erklären?
Liebe Grüße
Joan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:29 So 28.06.2009 | | Autor: | pelzig |
> [mm]X=\{1,2,3,4,5\}[/mm], [mm]\mathcal{B}=\{\{{1\},\{1,2\},\{1,2,3\},\{1,2,3,4\},\{5\}\}[/mm]
Ich nehme an, [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] ist die Topologie auf X...?
Edit: Richtig... das kann natürlich keine Topologie sein. Abgesehen davon, dass du uns also keine Topologie gegeben hast, funktioniert die folgende, prinzipielle Herangehensweise zur Lösung natürlich immernoch.
> i) Ist X zusammenhängend?
> ii) Ist {1,2,3,4} versehen mit der Unterraumtopologie,
> zusammenhängend?
>
> Ich habe eigentlich nur eine Verständnisfrage zur ii):
> Was bedeutet genau das Wort "versehen"? Ich kann mir das
> irgendwie nicht richtig vorstellen.
>
> Bei i) kann ich sagen X = {1,2,3,4} [mm]\cup[/mm] {5} = [mm]\emptyset[/mm] ,
> deswegen ist X nicht zusammenhängend
X ist die disjunkte Vereinigung der Mengen [mm] $\{1,2,3,4\}$ [/mm] und [mm] $\{5\}$ [/mm] und die sind beide offen und abgeschlossen in X, also ist X nicht zusammenhängend.
> aber bei der ii) weiß
> ich nicht genau von was ich die Vereinigung bilden soll,
> weil ich das Wort nicht so richtig verstehe.
Du musst verstehen, was die Unterraumtopologie ist: Ist [mm] $(X,\mathcal{B})$ [/mm] ein topologischer Raum und [mm]Y\subset X[/mm] so kannst du Y auf natürliche Weise wieder zu einem topologischen Raum machen durch die Topologie: [mm] $$\mathcal{B}\big|_Y:=\{O\cap Y\mid O\text{ offen in }X\}$$ [/mm] Dass dies auch immer eine Topologie auf Y definiert, muss man erstmal beweisen, ist aber leicht. Dann sagt man "Y ist versehen mit der Unterraumtopologie von X".
In deinem Fall ist also [mm] $Y=\{1,2,3,4\}$ [/mm] und [mm] $\mathcal{B}\big|_Y=\{\{1\},\{1,2\},\{1,2,3\},\{1,2,3,4\}\}$ [/mm] und du musst prüfen, ob der top. Raum [mm] $(Y,\mathcal{B}_Y)$ [/mm] zusammenhängend ist.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:41 So 28.06.2009 | | Autor: | Joan2 |
Achsoooo ^^
Danke schön. Jetzt hab ich es verstanden :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:30 So 28.06.2009 | | Autor: | Merle23 |
> [mm]X=\{1,2,3,4,5\}[/mm], [mm]\mathcal{B}=\{\{{1\},\{1,2\},\{1,2,3\},\{1,2,3,4\},\{5\}\}[/mm]
> Ich nehme an, [mm]\mathcal{B}[/mm] ist die Topologie auf X...?
Nein. Erfüllt nicht die Axiome.
Ist wohl eher die Basis einer Topologie (deswegen wohl das "B").
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