Zusammenhänge von ggT und kgV < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:48 Mo 02.06.2008 | | Autor: | ninime |
| Aufgabe | Seien a,b,c [mm] \in \IN [/mm] . Zeigen Sie:
(a) Gilt ggT(a,b,c) [mm] \* [/mm] kgV (a,b,c) = [mm] a\*b\*c, [/mm] dann sind a,b,c paarweise teilerfremd
(b) [mm] ggT(a,b,c)\*kgV(ab,bc,ac) [/mm] = [mm] a\*b\*c
[/mm]
(c) gilt auch [mm] ggT(a,b,c)\*kgV(a,b,a) [/mm] = [mm] a\*b\*c [/mm] ?
(d) Wie müsste ein entsprechender Faktor x mit
[mm] ggt(a,b,c,d)\*x [/mm] = [mm] a\*b\*c\*d
[/mm]
für 4 natürliche Zahlen a,b,c,d aussehen?
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Hallo,
ganz ehrlich versteh ich an dieser Aufgabe erstmal sehr wenig 
Für c) hab ich durch ausprobieren rausgefunden, dass es nicht gilt. Dafür reicht dann ja ein Gegenbeweis.
a)b) und c) bereiten mir mehr Probleme.
Bedeutet für a,b,c, teilweise teilerfremd, dass a und b, b und c, c und a teilerfremd sind?
Weiter komme ich mit dem allgemeinen Beweis für diese Aufgaben garnicht zurecht. Wäre super wenn mir jemand ein paar Hinweise geben könnte, damit ich überhaupt einen Ansatz habe.
Dankeschön
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:36 Mo 02.06.2008 | | Autor: | abakus |
> Seien a,b,c [mm]\in \IN[/mm] . Zeigen Sie:
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> (a) Gilt ggT(a,b,c) [mm]\*[/mm] kgV (a,b,c) = [mm]a\*b\*c,[/mm] dann sind
> a,b,c paarweise teilerfremd
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> (b) [mm]ggT(a,b,c)\*kgV(ab,bc,ac)[/mm] = [mm]a\*b\*c[/mm]
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> (c) gilt auch [mm]ggT(a,b,c)\*kgV(a,b,a)[/mm] = [mm]a\*b\*c[/mm] ?
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> (d) Wie müsste ein entsprechender Faktor x mit
> [mm]ggt(a,b,c,d)\*x[/mm] = [mm]a\*b\*c\*d[/mm]
> für 4 natürliche Zahlen a,b,c,d aussehen?
>
> Hallo,
> ganz ehrlich versteh ich an dieser Aufgabe erstmal sehr
> wenig
> Für c) hab ich durch ausprobieren rausgefunden, dass es
> nicht gilt. Dafür reicht dann ja ein Gegenbeweis.
>
> a)b) und c) bereiten mir mehr Probleme.
> Bedeutet für a,b,c, teilweise teilerfremd, dass a und b, b
Hallo,
im Text steht nicht teilweise, sondern paarweise.
> und c, c und a teilerfremd sind?
Ja.
>
> Weiter komme ich mit dem allgemeinen Beweis für diese
> Aufgaben garnicht zurecht. Wäre super wenn mir jemand ein
> paar Hinweise geben könnte, damit ich überhaupt einen
> Ansatz habe.
Schreibe jeden der drei Faktoren a, b, c als Produkt aus dem gemeinsamen Teiler d und dem jeweiligen "Restfaktor",
also [mm] a=d*k_1, b=d*k_2, c=d*k_3, [/mm] und bastele daraus die kgV's-
Gruß Abakus
>
> Dankeschön
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:35 Mi 04.06.2008 | | Autor: | ninime |
Ok, ich habe jetzt mit Aufgabe a begonnen und folgendes gemacht:
zzg.: wenn ggT(a,b,c) [mm] \* [/mm] kgV(a,b,c) = [mm] a\*b\*c [/mm] , dann sind a,b,c paarweise teilerfremd.
zunächst habe ich a,b,c definiert:
[mm] a=d\*k_1 [/mm] , [mm] b=d\*k_2 [/mm] , c= [mm] d\*k_3
[/mm]
daraus folgt ggT(d), [mm] kgV(k_1 \* k_2 \* k_3 [/mm] )
also:
ggT(d) [mm] \* [/mm] kgV [mm] (k_1 \* k_2 \* k_3 [/mm] ) = [mm] (d\*k_1)\*(d\*k_2)\*(d\*k_3) [/mm] = [mm] a\*b\*c
[/mm]
jetzt komme ich nicht weiter ich hab ja noch garnicht bewiesen, dass a,b,c in dem Fall paarweise teilerfremd sind. Wär supi wenn mir jemand helfen könnte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Fr 06.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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