Zusammenhängend aber nicht Weg < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Die Menge $M := [mm] \{ (x,sin(\frac{1}{x}): x \in ]0,1]) \} \cup \{ (0,y): y\in]-1,1[ \} \subset \mathbb{R}^2$ [/mm] ist zusammenhängend aber nicht wegzusammenhänged |
Hi
Ich kenn die Definitionen von Zusammenhängend und Wegzusammenhänged, aber tu mich schwer sie anzuwenden..
Ich habe mal so angefangen um zu zeigen dass die M zusammenhängend ist:
Angenommen M ist nicht zusammenhängend, dann exisieren die offenen Mengen $U, V [mm] \subset \mathbb{R}^2$
[/mm]
mit $ M [mm] \subset [/mm] U [mm] \cup [/mm] V , [mm] \quad [/mm] U [mm] \cap [/mm] V = [mm] \emptyset [/mm] , [mm] \quad [/mm] M [mm] \cap [/mm] V [mm] \neq [/mm] 0 [mm] \neq [/mm] M [mm] \cap [/mm] U $
Es ist ja klar dass $ [mm] \{ (0,y): y\in]-1,1[ \} [/mm] =: [mm] M_2 [/mm] $ zusammenhängend ist, d.h. dass [mm] $M_2$ [/mm] entweder in U oder V komplett liegt. Ohne Einschränkung behaupte ich jetzt dass [mm] $M_2$ [/mm] in V liegt.
Jetzt müsste ich noch zeigen dass [mm] $M_1 [/mm] := [mm] \{ (x,sin(\frac{1}{x}): x \in ]0,1]) \}$ [/mm] zusammenhängend ist, dann liegt nämlich [mm] $M_1$ [/mm] komplett in U.
Nur schaff ich es hier schon nicht zu zeigen dass es zusammenhängend ist. Wie mache ich das am besten? Wieder mit einem Widerspruchsbeweis?
Wenn ich das zeigen könnte, hätte ich:
$ [mm] M_1 [/mm] = [mm] \{ (x,sin(\frac{1}{x}): x \in ]0,1]) \} \subset [/mm] U$
$ [mm] M_2 [/mm] = [mm] \{ (0,y): y\in]-1,1[ \} \subset [/mm] V $
Und muesste dann irgendwie zeigen dass $ U [mm] \cap [/mm] V [mm] \neq \emptyset$ [/mm] damit ich einen Widerspruch bekomme.
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:45 Sa 09.05.2015 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Die Menge [mm]M := \{ (x,sin(\frac{1}{x}): x \in ]0,1]) \} \cup \{ (0,y): y\in]-1,1[ \} \subset \mathbb{R}^2[/mm]
> ist zusammenhängend aber nicht wegzusammenhänged
>
> Hi
> Ich kenn die Definitionen von Zusammenhängend und
> Wegzusammenhänged, aber tu mich schwer sie anzuwenden..
> Ich habe mal so angefangen um zu zeigen dass die M
> zusammenhängend ist:
>
> Angenommen M ist nicht zusammenhängend, dann exisieren die
> offenen Mengen [mm]U, V \subset \mathbb{R}^2[/mm]
> mit [mm]M \subset U \cup V , \quad U \cap V = \emptyset , \quad M \cap V \neq 0 \neq M \cap U[/mm]
>
> Es ist ja klar dass [mm]\{ (0,y): y\in]-1,1[ \} =: M_2[/mm]
> zusammenhängend ist, d.h. dass [mm]M_2[/mm] entweder in U oder V
> komplett liegt.
Warum ist es klar?
Für mich ist auch klar, dass [mm] $M_1$ [/mm] zusammenhängend ist, und zwar ist es mir bei beiden Mengen aus dem gleichen Grund klar.
> Ohne Einschränkung behaupte ich jetzt dass
> [mm]M_2[/mm] in V liegt.
> Jetzt müsste ich noch zeigen dass [mm]M_1 := \{ (x,sin(\frac{1}{x}): x \in ]0,1]) \}[/mm]
> zusammenhängend ist, dann liegt nämlich [mm]M_1[/mm] komplett in
> U.
> Nur schaff ich es hier schon nicht zu zeigen dass es
> zusammenhängend ist. Wie mache ich das am besten? Wieder
> mit einem Widerspruchsbeweis?
Siehe oben.
> Wenn ich das zeigen könnte, hätte ich:
> [mm]M_1 = \{ (x,sin(\frac{1}{x}): x \in ]0,1]) \} \subset U[/mm]
> [mm]M_2 = \{ (0,y): y\in]-1,1[ \} \subset V[/mm]
Genau.
> Und muesste dann irgendwie zeigen dass [mm]U \cap V \neq \emptyset[/mm]
> damit ich einen Widerspruch bekomme.
Verwende die Offenheit von $U$. Du kannst eine Folge von Punkten in $U [mm] \cap M_1$ [/mm] angeben, die gegen einen Punkt aus $V [mm] \cap M_2$ [/mm] konvergiert. Da $U$ offen ist, muss dann dieser Punkt ebenfalls in $U$ liegen und somit also $U [mm] \cap [/mm] V [mm] \neq \emptyset$ [/mm] sein.
LG Felix
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> Warum ist es klar?
> Für mich ist auch klar, dass $ [mm] M_1 [/mm] $ zusammenhängend ist, und zwar ist es mir > bei beiden Mengen aus dem gleichen Grund klar.
Naja wenn ich mir die Menge sind ja einfach die Punkte auf der y-Achse zwischen -1 und 1. Also ja auch wegzusammenhängend. Und das ist ja so definiert, dass es eine stetige Funktion existiert, sodass für alle $a, b [mm] \in M_2: \phi [/mm] : [0,1] [mm] \rightarrow M_2 [/mm] $ mit [mm] $\phi [/mm] (0) = a$ und [mm] $\phi [/mm] (1) = b$
Wie konstruiere ich jetzt in diesem Fall am besten die Funktion?
also überlegt habe ich mir sowas:
[mm] $\phi(y) [/mm] := [mm] \begin{cases} (0,a) & y = 0 \\ (0,b) & y = 1 \\ (0,y) & sonst \end{cases}$
[/mm]
Mal abgesehen davon dass die Funktion nicht stetig ist, weiss ich nicht mal ob der Ansatz überhaupt ok ist.
Danke schonmal für den Tipp, der wird mir schonmal weiterhelfen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:35 Sa 09.05.2015 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Warum ist es klar?
>
> > Für mich ist auch klar, dass [mm]M_1[/mm] zusammenhängend ist, und
> zwar ist es mir > bei beiden Mengen aus dem gleichen Grund
> klar.
>
> Naja wenn ich mir die Menge sind ja einfach die Punkte auf
> der y-Achse zwischen -1 und 1. Also ja auch
> wegzusammenhängend. Und das ist ja so definiert, dass es
> eine stetige Funktion existiert, sodass für alle [mm]a, b \in M_2: \phi : [0,1] \rightarrow M_2[/mm]
> mit [mm]\phi (0) = a[/mm] und [mm]\phi (1) = b[/mm]
Genau.
> Wie konstruiere ich
> jetzt in diesem Fall am besten die Funktion?
>
> also überlegt habe ich mir sowas:
>
> [mm]\phi(y) := \begin{cases} (0,a) & y = 0 \\ (0,b) & y = 1 \\ (0,y) & sonst \end{cases}[/mm]
>
> Mal abgesehen davon dass die Funktion nicht stetig ist,
Nur falls $a = 0$ und $b = 1$, aber $(0, b)$ liegt dann nicht in der Menge.
> weiss ich nicht mal ob der Ansatz überhaupt ok ist.
Du kannst recht einfach eine geschlossene Formel $f(y)$ angeben mit [mm] $\phi(y) [/mm] = (0, f(y))$. Nimm doch einfach eine lineare Funktion, also etwas in der Form $f(y) = A + B [mm] \cdot [/mm] y$. Du hast die Randbedingungen $f(0) = a$ und $f(1) = b$, damit solltest du die Werte von $A$ und $B$ bestimmen können.
LG Felix
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Also um zu zeigen dass [mm] $M_1$ [/mm] und [mm] $M_2$ [/mm] wegzusammenhängend sind und somit zusammenhänged, habe ich jetzt die 2 Funktionen gefunden:
Für [mm] $M_1$:
[/mm]
$f(x) := (a+x(b-a), [mm] sin(\frac{1}{a+x(b-a)}))$
[/mm]
da
$ f(0) = (a, [mm] sin(\frac{1}{a}))$ [/mm] und $ f(1) = (b, [mm] sin(\frac{1}{b}))$ [/mm] und stetig ist sie auch.
Für [mm] $M_2$:
[/mm]
$g(y) := (0, a+y(b-a))$
So nun habe ich
[mm] $M_1 \subset [/mm] U$
[mm] $M_2 \\subset [/mm] V$
Wenn ich jetzt die Folge [mm] $(x-\frac{1}{\pi}, sin(\frac{1}{x}))$, [/mm] dann konvergiert diese doch gegen $(0,0) [mm] \in M_2$ [/mm] für $x [mm] \rightarrow \frac{1}{\pi}$ [/mm] ?
Dann hätte ich meinen Widerspruch und damit gezeigt dass [mm] $M_1 \cup M_2$ [/mm] zusammenhängend ist. Und müsste nun zeigen dass es aber nicht wegzusammenhängend ist.
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:49 So 10.05.2015 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Also um zu zeigen dass [mm]M_1[/mm] und [mm]M_2[/mm] wegzusammenhängend sind
> und somit zusammenhänged, habe ich jetzt die 2 Funktionen
> gefunden:
>
> Für [mm]M_1[/mm]:
> [mm]f(x) := (a+x(b-a), sin(\frac{1}{a+x(b-a)}))[/mm]
> da
> [mm]f(0) = (a, sin(\frac{1}{a}))[/mm] und [mm]f(1) = (b, sin(\frac{1}{b}))[/mm]
> und stetig ist sie auch.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Für [mm]M_2[/mm]:
> [mm]g(y) := (0, a+y(b-a))[/mm]
> So nun habe ich
> [mm]M_1 \subset U[/mm]
> [mm]M_2 \\subset V[/mm]
Genau.
> Wenn ich jetzt die Folge [mm](x-\frac{1}{\pi}, sin(\frac{1}{x}))[/mm],
> dann konvergiert diese doch gegen [mm](0,0) \in M_2[/mm] für [mm]x \rightarrow \frac{1}{\pi}[/mm]
> ?
Das schon, aber die Folgenglieder liegen nicht in [mm] $M_1$: [/mm] sie sind nicht von der Form $(t, [mm] \sin(1/t))$, [/mm] $t [mm] \in [/mm] (0,1]$.
Gib lieber eine Folge [mm] $(x_n, \sin(1/x_n)) \in M_1$ [/mm] an mit [mm] $x_n \in [/mm] (0, 1]$ mit [mm] $x_n \to [/mm] 0$, [mm] $\sin(1/x_n) \to [/mm] 0$ (oder einen anderen, festen Wert in $(-1, 1)$).
> Dann hätte ich meinen Widerspruch und damit gezeigt dass
> [mm]M_1 \cup M_2[/mm] zusammenhängend ist. Und müsste nun zeigen
> dass es aber nicht wegzusammenhängend ist.
Genau. Nimm doch an, es wäre wegzusammenhängend. Dann muss es ienen Weg [mm] $\alpha [/mm] : [0, 1] [mm] \to M_1 \cup M_2$ [/mm] geben mit [mm] $\alpha(0) [/mm] = (0, 0)$ und [mm] $\alpha(1) [/mm] = (1, [mm] \sin [/mm] 1)$. Du musst nun zeigen, dass ein solches [mm] $\alpha$ [/mm] niemals stetig sein kann.
LG Felix
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