Zusammenhängende Mengen im R^2 < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Skizzieren Sie die folgenden Mengen und entscheiden Sie (mit Begründung), ob sie zusammenhängend sind:
a) [mm] E:=\{(x,1): x\in\IR, x\le0\} \cup \{(x,y): x>0, y=cos(\bruch{1}{x})\};
[/mm]
b) [mm] F:=\{(x,y) \in \IR^2 : |x|*|y|=1\}. [/mm] |
Hallo erstmal :)
ist mein erster Post hier im Matheraum.
Die Mengen aus der Aufgabenstellung habe ich versucht zu skizzieren. Vielleicht kann mir jemand sagen, ob die richtig gezeichnet sind.
Menge E
Menge F
Die Menge E habe ich dabei in 2 Teilmengen zerlegt:
[mm] E_1:=\{(x,1): x\in\IR, x\le0\}
[/mm]
[mm] E_2:=\{(x,y): x>0, y=cos(\bruch{1}{x})\}
[/mm]
Bitte nicht wundern bei der Skizze zur Menge E, ich habe versucht bei [mm] E_2 [/mm] deutlich zu machen, dass cosinus in der grau schraffierten Fläche sehr oft "hin und herspringt".
Zu der Menge E habe ich noch eine Frage. Ich habe für [mm] y=cos(\bruch{1}{x}) [/mm] x>0 eingesetzt, ist das so richtig, oder muss ich [mm] x\in\IR [/mm] wählen?
Schöne Grüße
Flauschfussel
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
Hallo und (nachträglich)
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Skizzieren Sie die folgenden Mengen und entscheiden Sie
> (mit Begründung), ob sie zusammenhängend sind:
>
> a) [mm]E:=\{(x,1): x\in\IR, x\le0\} \cup \{(x,y): x>0, y=cos(\bruch{1}{x})\};[/mm]
>
> b) [mm]F:=\{(x,y) \in \IR^2 : |x|*|y|=1\}.[/mm]
> Hallo erstmal :)
>
> ist mein erster Post hier im Matheraum.
>
> Die Mengen aus der Aufgabenstellung habe ich versucht zu
> skizzieren. Vielleicht kann mir jemand sagen, ob die
> richtig gezeichnet sind.
> Menge E
> Menge F
> Die Menge E habe ich dabei in 2
> Teilmengen zerlegt:
>
> [mm]E_1:=\{(x,1): x\in\IR, x\le0\}[/mm]
> [mm]E_2:=\{(x,y): x>0, y=cos(\bruch{1}{x})\}[/mm]
>
> Bitte nicht wundern bei der Skizze zur Menge E, ich habe
> versucht bei [mm]E_2[/mm] deutlich zu machen, dass cosinus in der
> grau schraffierten Fläche sehr oft "hin und herspringt".
> Zu der Menge E habe ich noch eine Frage. Ich habe für
> [mm]y=cos(\bruch{1}{x})[/mm] x>0 eingesetzt, ist das so richtig,
> oder muss ich [mm]x\in\IR[/mm] wählen?
Das hat du so richtig gemacht. Ist es deine einzige Frage zu der Aufgabenstellung? Die einzig interessante Frage hier wäre ja, ob E zusammenhängend ist oder nicht...
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Nein, dass ist nicht die einzige Frage :)
wollte erstmal sicher gehen, dass die Zeichnungen richtig sind :)
In der Vorlesung haben wir zusammenhängende Mengen so definiert:
Eine Teilmenge A eines metrischen Raums X heißt zusammenhängend, wenn es keine Zerlegung [mm] A=A_1\cup A_2 [/mm] in zwei nichtleere relativ offene Teilmengen [mm] A_1 [/mm] und [mm] A_2 [/mm] von A gibt.
Naja bei der Menge E hat man ja durch [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_2 [/mm] eigentlich eine Zerlegung gegeben. Jetzt müsste man ja nur noch prüfen, ob [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_2 [/mm] nichtleere relativ offene Teilmengen sind. Sind sie das, dann ist E nicht zusammenhängend.
So meine erste Frage wäre: was heißt "relativ offen"?
Wenn ich zeigen will, dass die Teilmengen offen sind, kann ich dann einfach zeigen, dass ihre Komplemente abgeschlossen sind?
Vielen Dank für die Hilfe :)
Flauschfussel
|
|
|
| |
|
Hallo,
>> Naja bei der Menge E hat man ja durch [mm]E_1[/mm] und [mm]E_2[/mm]
>> eigentlich eine Zerlegung gegeben. Jetzt müsste man ja nur
>> noch prüfen, ob [mm]E_1[/mm] und [mm]E_2[/mm] nichtleere relativ offene
>> Teilmengen sind. Sind sie das, dann ist E nicht
>> zusammenhängend.
Das war gar nicht ganz richtig, fällt mir gerade auf.
> So meine erste Frage wäre: was heißt "relativ offen"?
Ich würde sagen, das bedeutet einfach, dass sich die Eigenschaft nur auf X bezieht, nicht jedoch auf den [mm] \IR^2.
[/mm]
> Wenn ich zeigen will, dass die Teilmengen offen sind, kann
> ich dann einfach zeigen, dass ihre Komplemente
> abgeschlossen sind?
Ich glaube, dass die Menge zusammenhängend ist aus dem einfachen Grund, weil der Rand von [mm] E_1 [/mm] abgeschlossen ist. Ich bin mir jedoch nicht sicher, und stelkle deshalb auf 'teilweise beantwortet'.
F ist offen, das ist m.E. nach leicht zu begründen.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> >> Naja bei der Menge E hat man ja durch [mm]E_1[/mm] und [mm]E_2[/mm]
> >> eigentlich eine Zerlegung gegeben. Jetzt müsste man ja
> nur
> >> noch prüfen, ob [mm]E_1[/mm] und [mm]E_2[/mm] nichtleere relativ offene
> >> Teilmengen sind. Sind sie das, dann ist E nicht
> >> zusammenhängend.
>
> Das war gar nicht ganz richtig, fällt mir gerade auf.
Das ist auch völliger Quatsch, was ich da geschrieben habe >.<
Das F nicht zusammenhängend ist, habe ich bereits gezeigt. :)
Bei der Menge E hänge ich im Moment etwas fest. Möchte zeigen, dass E abgeschlossen ist und nicht zerlegt werden kann, sodass die Definition von "zusammenhängend" erfüllt wird.
Naja die Menge [mm] E_1 [/mm] ist, wie du bereits schon geschrieben hast, abgeschlossen.
Nun vereine ich aber diese Menge [mm] E_1 [/mm] mit einer offenen Menge [mm] E_2, [/mm] dann würde ja für die Menge E gelten: [mm] x\in(-\infty,\infty) [/mm] und [mm] y\in(-1,1] [/mm] (ich weiß nicht ob y den Wert -1 annimmt :/). Mache ich es mir da zu einfach und meine Vorstellung trügt mich, oder kann das tatsächlich stimmen?
Ich versuche nämlich den Rand von E zu bestimmen, um über die Definition der abgeschlossenen Menge zu argumentieren (also A= Abschluss von A= [mm] A\cup \partial [/mm] A). Kann ich denn so an die Aufgabe heran gehen? Bin für jede Hilfe dankbar :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mi 05.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
Okay, ich habe gemerkt, dass ich mich in der Skizze zu der Menge E einen Fehler gemacht habe. In der Zeichnung ist [mm] x\ge0, [/mm] aber es muss [mm] x\le0 [/mm] sein, so wie es oben auch in der Aufgabenstellung steht, habe es auf der Skizze falsch aufgemalt und aufgeschrieben.
|
|
|
|
