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Wenn ich [mm] M=[0,1)\cup(1,2] [/mm] habe, und soll beweisen, dass diese Menge unzusammenhängend ist, dann muss ich doch diese Menge durch die Vereinigung von zwei offenen, nicht-leeren Mengen ausdrücken können, sagt die Definition.
Wie würden diese offenen, nicht-leeren Mengen denn heißen? Bei der Vereinigung der zwei offenen Mengen [mm] (0,1)\cup(1,2) [/mm] würde ja die 0 bzw. die 2 fehlen.
NACHTRAG: Anscheinend sind [0,1) doch offen, es kommt wohl auf die Metrik an. Wollte den Beitrag daher löschen, habe aber das Löschfeld nicht gefunden. Sorry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 Sa 22.02.2020 | | Autor: | fred97 |
> Wenn ich [mm]M=[0,1)\cup(1,2][/mm] habe, und soll beweisen, dass
> diese Menge unzusammenhängend ist, dann muss ich doch
> diese Menge durch die Vereinigung von zwei offenen,
> nicht-leeren Mengen ausdrücken können, sagt die
> Definition.
>
> Wie würden diese offenen, nicht-leeren Mengen denn
> heißen? Bei der Vereinigung der zwei offenen Mengen
> [mm](0,1)\cup(1,2)[/mm] würde ja die 0 bzw. die 2 fehlen.
>
> NACHTRAG: Anscheinend sind [0,1) doch offen, es kommt wohl
> auf die Metrik an.
Ich habe Zweifel daran, ob Du das Richtige meinst. Zunächst habe wir die übliche Metrik
auf [mm] \IR. [/mm] Diese schränken wir auf M ein. Mit dieser Einschränkung ist M ein metrischer Raum.
Eine Teilmenge von M ist genau dann offen in M (in der Spurtopologie ), wenn sie sich darstellen lässt als Schnitt von M mit einer in [mm] \IR [/mm] offenen Menge.
Die in obiger Darstellung von M beteiligten halboffenen Intervalle sind offen in M (warum? ).
> Wollte den Beitrag daher löschen, habe
> aber das Löschfeld nicht gefunden. Sorry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:44 So 23.02.2020 | | Autor: | Psychopath |
> Die in obiger Darstellung von M beteiligten halboffenen Intervalle sind offen in M (warum? ).
Von mir vermutete Antwort:
Wenn ich einen metrischen Raum (M,d) habe, dann ist M automatisch offen.
Habe ich zumindest gerade im Internet gefunden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:28 So 23.02.2020 | | Autor: | fred97 |
> > Die in obiger Darstellung von M beteiligten halboffenen
> Intervalle sind offen in M (warum? ).
>
> Von mir vermutete Antwort:
> Wenn ich einen metrischen Raum (M,d) habe, dann ist M
> automatisch offen.
> Habe ich zumindest gerade im Internet gefunden.
Richtig ist, dass M offen ist. Das beantwortet aber meine obige Frage nicht.
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:49 So 23.02.2020 | | Autor: | Psychopath |
> > Wenn ich [mm]M=[0,1)\cup(1,2][/mm] habe, und soll beweisen, dass
> > diese Menge unzusammenhängend ist, dann muss ich doch
> > diese Menge durch die Vereinigung von zwei offenen,
> > nicht-leeren Mengen ausdrücken können, sagt die
> > Definition.
> >
> > Wie würden diese offenen, nicht-leeren Mengen denn
> > heißen? Bei der Vereinigung der zwei offenen Mengen
> > [mm](0,1)\cup(1,2)[/mm] würde ja die 0 bzw. die 2 fehlen.
> >
> > NACHTRAG: Anscheinend sind [0,1) doch offen, es kommt wohl
> > auf die Metrik an.
>
> Ich habe Zweifel daran, ob Du das Richtige meinst.
> Zunächst habe wir die übliche Metrik
> auf [mm]\IR.[/mm] Diese schränken wir auf M ein. Mit dieser
> Einschränkung ist M ein metrischer Raum.
> Eine Teilmenge von M ist genau dann offen in M (in der
> Spurtopologie ), wenn sie sich darstellen lässt als
> Schnitt von M mit einer in [mm]\IR[/mm] offenen Menge.
>
> Die in obiger Darstellung von M beteiligten halboffenen
> Intervalle sind offen in M (warum? ).
Das ist schwierig verbal zu beschreiben (d.h. ohne Bild). Ich versuche es trotzdem mal: Die Zahl 2 ist auf dem Rand des Intervalls, hat aber trotzdem eine [mm] \varepsilon-Umgebung, [/mm] die ganz in M liegt, denn der metrische Raum endet ja bei der 2.
Mein Bauchgefühl sagt mir, dass man das noch schöner formulieren kann 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:12 So 23.02.2020 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
für mein Dafürhalten hast du den wesentlichen Punkt erfasst.
Formulierungsvorschlag für den Nachweis der Offenheit von $(1,2]$ in M:
Sei [mm] $x\in [/mm] (1,2]$ beliebig vorgegeben. Wähle [mm] $\varepsilon:=x-1>1-1=0$. [/mm] Dann gilt wie gewünscht [mm] $\{y\in M\;|\;|x-y|<\varepsilon\}\subseteq [/mm] (1,2]$: Sei nämlich [mm] $y\in [/mm] M$ mit [mm] $|x-y|<\varepsilon$. [/mm] Dann gilt wegen [mm] $y\in [/mm] M$ die Ungleichung [mm] $y\le [/mm] 2$ und wegen [mm] $x-y\le |x-y|<\varepsilon=x-1$ [/mm] auch $y>1$, so dass wie gewünscht [mm] $y\in(1,2]$ [/mm] folgt.
Alternativ geht es mit "Freds" Kriterium für Offenheit bezüglich Spurtopologie: Es genügt festzustellen, dass z.B. [mm] $(1,\infty)$ [/mm] eine in [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] offene Menge ist, für die [mm] $(1,\infty)\cap [/mm] M=(1,2]$ gilt, um die Offenheit von $(1,2]$ in $M$ nachzuweisen.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:07 Mi 04.03.2020 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> für mein Dafürhalten hast du den wesentlichen Punkt
> erfasst.
>
> Formulierungsvorschlag für den Nachweis der Offenheit von
> [mm](1,2][/mm] in M:
>
> Sei [mm]x\in (1,2][/mm] beliebig vorgegeben. Wähle
> [mm]\varepsilon:=x-1>1-1=0[/mm]. Dann gilt wie gewünscht [mm]\{y\in M\;|\;|x-y|<\varepsilon\}\subseteq (1,2][/mm]:
> Sei nämlich [mm]y\in M[/mm] mit [mm]|x-y|<\varepsilon[/mm]. Dann gilt wegen
> [mm]y\in M[/mm] die Ungleichung [mm]y\le 2[/mm] und wegen [mm]x-y\le |x-y|<\varepsilon=x-1[/mm]
> auch [mm]y>1[/mm], so dass wie gewünscht [mm]y\in(1,2][/mm] folgt.
>
> Alternativ geht es mit "Freds" Kriterium für Offenheit
Hallo Tobias,
das ist nicht mein Kriterium, sondern die Definition von Spurtopologie.
> bezüglich Spurtopologie: Es genügt festzustellen, dass
> z.B. [mm](1,\infty)[/mm] eine in [mm]\mathbb{R}[/mm] offene Menge ist, für
> die [mm](1,\infty)\cap M=(1,2][/mm] gilt, um die Offenheit von [mm](1,2][/mm]
> in [mm]M[/mm] nachzuweisen.
>
> Viele Grüße
> Tobias
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