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| Aufgabe | Gegeben ist die Ebene E in Paramterform:
E: [mm] \vec{x}= \vektor{1 \\ 0 \\ 8} [/mm] +r* [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ -2} [/mm] +s* [mm] \vektor{4 \\ 7 \\ 11}
[/mm]
(a) Bestimme die Koordinatengleichung der Ebene E
(b) Bestimme die Gleichung der Ebene E in Normalform
(c) Vergleiche die Darstellungen miteinander. Was fällt auf? |
Hallo,
ich bereite mich grade aufs Abitur vor. Diese Aufgabe hatten wir als Wiederholung bekommen. Leider ohne Lösung. Ich habe das ganze mal durchgerechnet.
Mein Ergebnisse für a ist:
(a) 0 = [mm] -8x_{1}-3x_{2}+x_{3}
[/mm]
Ist das richtig?
Und wie komme ich dann auf die Normalengleichung?
Ich weiß, dass man die Normale ablesen kann:
N (-8 \ -3 \ 1)
Aber was fang ich damit an?
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Hallo kleine_Frau,
> Gegeben ist die Ebene E in Paramterform:
> E: [mm]\vec{x}= \vektor{1 \\ 0 \\ 8}[/mm] +r* [mm]\vektor{-1 \\ 1 \\ -2}[/mm]
> +s* [mm]\vektor{4 \\ 7 \\ 11}[/mm]
>
> (a) Bestimme die Koordinatengleichung der Ebene E
> (b) Bestimme die Gleichung der Ebene E in Normalform
> (c) Vergleiche die Darstellungen miteinander. Was fällt
> auf?
> Hallo,
> ich bereite mich grade aufs Abitur vor. Diese Aufgabe
> hatten wir als Wiederholung bekommen. Leider ohne Lösung.
> Ich habe das ganze mal durchgerechnet.
>
> Mein Ergebnisse für a ist:
> (a) 0 = [mm]-8x_{1}-3x_{2}+x_{3}[/mm]
> Ist das richtig?
Leider nicht. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das musst Du nochmal nachrechnen.
>
> Und wie komme ich dann auf die Normalengleichung?
> Ich weiß, dass man die Normale ablesen kann:
> N (-8 \ -3 \ 1)
>
> Aber was fang ich damit an?
Die Normalengleichung einer Ebene E lautet:
[mm]\left(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}\right)\*\overrightarrow{N}=0[/mm]
Den Normalenvektor hast Du ja. Was Du jetzt noch brauchst ist ein Punkt auf der Ebene.
Gruß
MathePower
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Gegeben ist die Ebene E in Paramterform:
E: [mm]\vec{x}= \vektor{1 \\ 0 \\ 8}[/mm] +r* [mm]\vektor{-1 \\ 1 \\ -2}[/mm] +s* [mm]\vektor{4 \\ 7 \\ 11}[/mm]
(a) Bestimme die Koordinatengleichung der Ebene E
63 = [mm] -25x_{1}-3x_{2}+11x_{3}
[/mm]
Ist das richtig?
Und wie komme ich dann auf die Normalengleichung?
Ich weiß, dass man die Normale ablesen kann: N (-25 \ -3 \ 11)
Ist das richtig?
Und wenn ja, was fang ich damit an?
Die Normalengleichung einer Ebene E lautet:
[mm]\left(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}\right)\*\overrightarrow{N}=0[/mm]
Was ich jetzt noch brauche ist ein Punkt auf der Ebene.
Für r =1 und s = 1 erhalte ich den Punkt
A (4 \ 8 \ 9)
Aber was ist [mm] \vec{p} [/mm] in der Formel?
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E: [mm]\vec{x}= \vektor{1 \\ 0 \\ 8}[/mm] +r* [mm]\vektor{-1 \\ 1 \\ -2}[/mm] +s* [mm]\vektor{4 \\ 7 \\ 11}[/mm]
Bestimme die Koordinatengleichung der Ebene E:
63 = [mm]-25x_{1}-3x_{2}+11x_{3}[/mm]
Der Normalenvektor:
[mm]\vec{n} \ = \ \vektor{-25\\-3\\11}[/mm]
Allgemeiner Ansatz für die Normalengleichung einer Ebene:
[mm]\left(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}\right)\*\overrightarrow{N}=0[/mm]
Ein Punkt auf der Ebene; der Aufpunkt
r = s = 0 führt zu:
P [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 8}
[/mm]
Dann wäre die Normalenform:
( [mm] \vec{x} [/mm] - [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 8} [/mm] ) * [mm] \vektor{-25\\-3\\11} [/mm] = 0
Ist die so fertig?
Welchen Vorteil bringt diese Darstellungsweise? Was kann ich damit anfangen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:40 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Genau, so könnte die gleichung dann lauten. Der Vorteil dieser Darstellungsform liegt darin, dass man damit gut Abstände von Punkt und Ebene bestimmen kann.
E: [mm] [\vec{x}-\vec{a}]*\vec{n}=0
[/mm]
Ist die Normalform der Ebene. a ist bei mir Ortsvektor des Aufpunktes der Ebene.
Und jetzt zur Formel zur Berechnung des Abstandes:
E ist die Ebene, P der Punkt, der irgendwo liegt und von dem man den Abstand zur Ebene bestimmen will.
[mm] d(P,E)=\bruch{1}{|\vec{n}|}[\vec{p}-\vec{a}]*\vec{n}
[/mm]
Und wie du siehst, ähnelt die Abstandgleichung der Ebenengleichung in Normalenform. Nur für den x-Vektor setzt du die Koordinaten des Punktes ein und du muss alles noch durch den Betrag des Normalenvektors teilen.
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
