Zusammenhang Extrema - Taylor < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo.
Ich bereite mich grade auf meine Höhere Mathematik 2 Klausur und habe eine Frage.
Mir ist beim Durchrechnen der Altklausuren öfters ein Aufgabenschema ins Auge gefallen was mich ein bisschen nachdenklich gemacht hat.
Man soll erst die Extremwerte einer Funktion mit 2 Veränderlichen bestimmen und anschließend Das Taylor-Polynom zweiten Grades berechnen, wobei der Entwicklungspunkt bis jetzt immer das lokale Maximum war welches ich in der vorherigen Teilaufgabe bereits ausgerechnet hatte.
Ich bin die Aufgeben bis jetzt einfach nach Schema F angegangen, indem ich einfach die Formel für das Taylor-Polynom zweiten Grades für zwei Veränderliche benutzt habe.
Kann es sein, dass ich das Taylorpolynom auch einfacher bilden kann wenn der Entwicklungspunkt ein Maximalpunkt ist?
Ich habe schon überlegt das es etwas mit der Hesse-Matrix zu tun hat die ich für den Punkt ja schon aufgestellt hatte.
Danke für jede Antwort!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:06 Mi 21.09.2011 | | Autor: | fred97 |
Das
http://nibis.ni.schule.de/~lbs-gym/Verschiedenespdf/Extrema2Variable.pdf
könnte Dir helfen.
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:21 Mi 21.09.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo,
die Quelle von fred habe ich mir nicht angesehen. Hoffe, es kommt jetzt nichts, was du schon weißt. Angenommen du hast eine Funktion [mm]f:\IR^n\to\IR, f[/mm] 2-mal stetig diffbar. [mm]\bar{x}\in\IR^n[/mm] sei Optimum von f. Notwendige Bedingung für ein Optimum ist [mm]\bigtriangledown{f}(\bar{x})=0.[/mm] D.h. der Gradient von f an der Stelle [mm]\bar{x}[/mm] ist 0. Taylorentwicklung bis 2. Ordnung von f im Punkt x um den Entwicklungspunkt [mm]\bar{x}[/mm]:
[mm]f(x)=f(\bar{x})+\bigtriangledown{f}(\bar{x})^T*(x-\bar{x})+\bruch{1}{2}*(x-\bar{x})^T*\bigtriangledown^2f(\bar{x})*(x-\bar{x})[/mm]
[mm]=f(\bar{x})+\bruch{1}{2}*(x-\bar{x})^T*\bigtriangledown^2f(\bar{x})*(x-\bar{x}), \ \ \text{da} \ \ \bigtriangledown{f}(\bar{x})=0.[/mm]
[mm]\bigtriangledown^2f(\bar{x})[/mm] ist Hessematrix von f in [mm]\bar{x}[/mm].
Gruß
barsch
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:27 Mi 21.09.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> die Quelle von fred habe ich mir nicht angesehen. Hoffe, es
> kommt jetzt nichts, was du schon weißt. Angenommen du hast
> eine Funktion [mm]f:\IR^n\to\IR, f[/mm] 2-mal stetig diffbar.
> [mm]\bar{x}\in\IR^n[/mm] sei Optimum von f. Notwendige Bedingung
> für ein Optimum ist [mm]\bigtriangledown{f}(\bar{x})=0.[/mm] D.h.
> der Gradient von f an der Stelle [mm]\bar{x}[/mm] ist 0.
> Taylorentwicklung bis 2. Ordnung von f im Punkt x um den
> Entwicklungspunkt [mm]\bar{x}[/mm]:
>
> [mm]f(x)=f(\bar{x})+\bigtriangledown{f}(\bar{x})^T*(x-\bar{x})+\bruch{1}{2}*(x-\bar{x})^T*\bigtriangledown^2f(\bar{x})*(x-\bar{x})[/mm]
Hallo barsch ,
obiges stimmt aber nicht. Richtig ist:
[mm]f(x)=f(\bar{x})+\bigtriangledown{f}(\bar{x})^T*(x-\bar{x})+\bruch{1}{2}*(x-\bar{x})^T*\bigtriangledown^2f(c)*(x-\bar{x})[/mm],
wobei c auf der Verbindungsstrecke von x und [mm] \bar{x} [/mm] liegt.
Gruß FRED
>
> [mm]=f(\bar{x})+\bruch{1}{2}*(x-\bar{x})^T*\bigtriangledown^2f(\bar{x})*(x-\bar{x}), \ \ \text{da} \ \ \bigtriangledown{f}(\bar{x})=0.[/mm]
>
> [mm]\bigtriangledown^2f(\bar{x})[/mm] ist Hessematrix von f in
> [mm]\bar{x}[/mm].
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>
> Gruß
> barsch
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:33 Mi 21.09.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo Fred,
danke fürs Korrekturlesen.
> Richtig ist:
>
> [mm]f(x)=f(\bar{x})+\bigtriangledown{f}(\bar{x})^T*(x-\bar{x})+\bruch{1}{2}*(x-\bar{x})^T*\bigtriangledown^2f(c)*(x-\bar{x})[/mm],
>
> wobei c auf der Verbindungsstrecke von x und [mm]\bar{x}[/mm]
> liegt.
Mein Fehler, sorry.
> Gruß FRED
Gruß
barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:02 Do 22.09.2011 | | Autor: | Mammutbaum |
Danke für die Kompetente Hilfe. Also so wirklich zeitsparender ist dieser weg auch nicht. Die Gleichung vereinfacht sich schon, aber dann noch die Hesse-matrix umformen und mit zu multiplizieren ist nicht wirklich schneller. Ich denke ich werde die Aufgaben dann mit der "normalen" Taylor Formel lösen. Allerdings habe ich den Zusammenhang an Hand des Links besser verstanden. Dankeschön
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