Zusammenhang Kon-/Divergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Seien [mm] (x_{n}),(y_{n}) [/mm] Folgen mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (x_{n})=a [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (y_{n})=b. [/mm] Dann gilt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{x_{n}}{y_{n}} [/mm] = [mm] \bruch{a}{b} [/mm] (sofern [mm] b\not=0). [/mm] Gilt b=0, [mm] a\not=0 [/mm] so folgt: [mm] |\bruch{x_{n}}{y_{n}}|\rightarrow\infty (n\rightarrow\infty) [/mm] |
Hallo!
An sich ist mir der erste Teil ja klar. Aber beim zweiten hakt es ein wenig...
Wenn ich [mm] |\bruch{x_{n}}{y_{n}}| [/mm] auseinander nehme steht da ja [mm] |{x_{n}}*\bruch{1}{y_{n}}|. [/mm] Wenn [mm] (x_{n}) [/mm] gegen [mm] a\not=0 [/mm] geht und [mm] (y_{n}) [/mm] gegen b=0, dann steht da doch i.P. "konvergente Folge"*"Nullfolge" und das ist ja bekanntlich Null. Oder ist [mm] \bruch{1}{y_{n}} [/mm] gar keine Nullfolge, weil es ja der Kehrwert ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:30 Mo 09.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nimm doch mal fuer [mm] y_n=1/n [/mm] was ist dann mit [mm] 1/y_n?
[/mm]
Formulieren musst du das allerdings allgemeiner.
du weiist ab einem N ist fuer alle n>n [mm] y_n,\varepsilon [/mm] also ....
und was brauchst du, damit ne Folge garantiert bestimmt divergiert (also gegen [mm] \infty [/mm] geht?
Gruss leduart
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Also, die müsste dann unbeschränkt sein, damit sie garantiert gegen [mm] \infty [/mm] geht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:29 Di 10.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Also, die müsste dann unbeschränkt sein, damit sie
> garantiert gegen [mm]\infty[/mm] geht.
Nein ! Die Folge
1,2,1,3,1,4,1,5,1,6, ...................
ist unbeschränkt, geht aber nicht gegen [mm] \infty
[/mm]
FRED
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Jetzt bin ich aber überfordert. Warum geht diese Folge denn nicht gegen [mm] \infty [/mm] ? Klar, ist die eine Teilfolge eine konstante Folge, aber die zweite Teilfolge geht doch gegen [mm] \infty [/mm] . Geht denn dann nicht die ganze Folge gegen [mm] \infty [/mm] ? Ich dachte das sei das Paradebeispiel dafür, dass eine Folge mit nur einem einzigen Häufungswert auch gegen [mm] \infty [/mm] gehen kann?!?
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> Jetzt bin ich aber überfordert. Warum geht diese Folge denn
> nicht gegen [mm]\infty[/mm] ?
Hallo,
der Schlüssel auf solche Fragen findet sich oftmals in der Definition.
Schlag jetzt mal nach, wie Ihr
- Divergenz
- bestimmte Divergenz (= uneigentliche Konvergenz)
definiert habt.
Gruß v. Angela
P.S.: Was ist bloß BfP? Bachelor für Pädagogik? Grundschullehramt? ich kenn mich nicht mehr aus...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:27 Di 10.03.2009 | | Autor: | fagottator |
Hallo,
also durch nachdenken ist mir jetzt klar geworden, dass die obige Folge natürlich nicht gegen [mm] \infty [/mm] geht. Das von mir erwähnte Standardbeispiel bezieht sich nur auf reine Konvergenz. Soll heißen, dass ich mit obiger Folge zeige, dass eine Folge mit nur einem einzigen Häufungswert nicht konvergieren muss. Und [mm] (-1)^{n} [/mm] konvergiert schließlich auch nicht, aber geht deswegen trotzdem nicht gegen [mm] \infty [/mm] .
Hab's kapiert.
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:54 Di 10.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Eine Folge [mm] (a_n) [/mm] stebt gegen [mm] \infty [/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
zu jedem c>0 ex ein [mm] n_0 [/mm] in [mm] \IN [/mm] mit: [mm] a_n [/mm] > c für n > [mm] n_0.
[/mm]
Bei der Folge 1,2,1,3,1,4,....... ist das sicher nicht der Fall
FRED
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Hallo,
hab meinen Denkfehler jetzt gefunden (s.o.).
Ich denke auch ich hab das mit dem Kehrwert einer Nullfolge verstanden, dennoch hab ich noch ein Problem mit der Bedingung für bestimmte Divergenz, nach der in der 1. Antwort gefragt wurde.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:00 Di 10.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
dazu schreib (mit [mm] \epsilon [/mm] und N) auf, was es bedeutet, dass [mm] y_n [/mm] ne Nullfolge bildet. Dann schreib genau auf, was es bedeutet [mm] a_n [/mm] bestimmt divergent.
Bei all solchen Beweisen muss man sich immer zuerst die Def. dessen, was man hat, und dessen was man beweisen will aufschreiben. dann das erste benutzen, um das 2. zu beweisen
Technik: a>0 dann folgt aus a<b 1/a>1/b
Gruss leduart
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