Zusammenhang Norm Skalarproduk < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:34 Mo 02.05.2005 | | Autor: | Steutlor |
guten morgen!!!
also...folgendes: seit kurzem beschäftige ich mich in ANA 2 mit Normen und Skalarprodukten, aus der Vorlesung geht jedoch in keinster Weise hervor, wie der Zusammenhang zwischen beiden ist, und "was" sie eigetnlich machen!
sicher, mit einem skalarprodukt kann man irgendwie die winkel berechnen, und mit der norm sowat ähnliches wie einen betrag....aber wie siehts damit genau aus.
hintergrund ist mir als erstes wichtig dazu, später frage ich mich wie ich damit rechne, aber voerst hintergrundwissen...
vielen dank!!
mfg Steutlor
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. 
|
|
| |
|
Hallo!
Also zunächst mal machen beide Begriffe, Norm und Skalarprodukt, nur auf Vektorräumen Sinn. Nehmen wir also an, dass wir einen Vektorraum $V$ über den reellen Zahlen gegeben haben.
Ein Skalarprodukt [mm] $\beta$ [/mm] ist eine Abbildung [mm] $\beta: [/mm] V [mm] \times [/mm] V [mm] \to \IR$, [/mm] die bilinear ist, das heißt für $v [mm] \in [/mm] V$ sind [mm] $\beta(v, \cdot) [/mm] : V [mm] \to \IR$ [/mm] und [mm] $\beta( \cdot, [/mm] v): V [mm] \to \IR$ [/mm] lineare Abbildungen.
Ausserdem verlangt man von einem Skalarprodukt, dass es positiv definit ist, d.h. [mm] $\beta(v,v) [/mm] > 0$ für $v [mm] \not= [/mm] 0$.
Wenn man das hat, schreibt man manchmal auch kurz [mm] $\langle [/mm] v,w [mm] \rangle$ [/mm] oder auch $(v,w)$ statt [mm] $\beta(v,w)$.
[/mm]
Eine Norm hingegen ist eine Abbildung [mm] $\parallel \cdot \parallel [/mm] : V [mm] \to \IR_+$ [/mm] mit:
$ [mm] \parallel [/mm] v [mm] \parallel [/mm] = 0 [mm] \iff [/mm] v = 0$
[mm] $\parallel \lambda [/mm] v [mm] \parallel [/mm] = | [mm] \lambda [/mm] | [mm] \cdot \parallel [/mm] v [mm] \parallel$
[/mm]
[mm] $\parallel [/mm] v + w [mm] \parallel \leq \parallel [/mm] v [mm] \parallel [/mm] + [mm] \parallel [/mm] w [mm] \parallel$
[/mm]
Dabei sind $v,w [mm] \in [/mm] V$ und [mm] $\lambda \in \IR$.
[/mm]
Soweit die Definitionen. Aber was ist nun die Anschauung dahinter? Du hast es selbst gesagt: mit einer Norm möchte man Längen messen (man interpretiert die Norm eines Vektors als seine Länge und das dritte Gesetz als die Dreiecksungleichung) und mit einem Skalarprodukt möchte man Winkel messen.
Der Zusammenhang ist nun Folgender: gegeben ein Skalarprodukt, dann erhält man eine Norm gratis - man sagt, die Norm wird durch das Skalarprodukt induziert. Wenn also [mm] $\langle \cdot, \cdot \rangle$ [/mm] ein Skalarprodukt auf $V$ ist, dann definiert man für $v [mm] \in [/mm] V$:
[mm] $\parallel [/mm] v [mm] \parallel [/mm] := [mm] \sqrt{ \langle v, v\rangle }$. [/mm] Die positiv Definitheit sorgt dafür, dass dieser Ausdruck Sinn macht und man rechnet nach, dass die Gesetze einer Norm erfüllt sind.
Umgekehrt kommt aber nicht jede Norm von einem Skalarprodukt her...
Alles klar? Oder zumindest etwas klarer?
Lars
|
|
|
|
