Zusammenhang von Bildmenge? < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:51 Do 19.04.2012 | | Autor: | kiwibox |
Hallo ihr Lieben,
Warum gilt bei dem Satz:
"Es seien A [mm] \subset \IC [/mm] und f : A [mm] \to \IC [/mm] stetig, so dass A zusammenhängend ist, dann ist f(A) zusammenhängend"
die Umkehrung nicht?
Irgendwie kann ich mir das nicht so vorstellen...Könnt ihr mir da vielleicht weiterhelfen?
Liebe Grüße, die kiwibox 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:00 Do 19.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo ihr Lieben,
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> Warum gilt bei dem Satz:
> "Es seien A [mm]\subset \IC[/mm] und f : A [mm]\to \IC[/mm] stetig, so dass
> A zusammenhängend ist, dann ist f(A) zusammenhängend"
> die Umkehrung nicht?
>
> Irgendwie kann ich mir das nicht so vorstellen...Könnt ihr
> mir da vielleicht weiterhelfen?
Sei [mm] $A=\{i,-i\}$ [/mm] und f:A [mm] \to \IC [/mm] konstant.
Dann ist f stetig, f(A) ist einelementig, insbes. also zusammenhängend , aber A ist nicht zusammenhängend.
FRED
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> Liebe Grüße, die kiwibox
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 Do 19.04.2012 | | Autor: | kiwibox |
Danke für deine schnelle Antwort.
Dazu noch eine Verständnisfrage: Heißt das ich kann jede beliebige konstante Funktion wählen und dann einfach mein A vorgeben, so dass es kein Intervall ist und schon habe ich ein Gegenbeispiel? Wenn ja, dann habe ich vorhin total "doof" gedacht xD
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:14 Do 19.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für deine schnelle Antwort.
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> Dazu noch eine Verständnisfrage: Heißt das ich kann jede
> beliebige konstante Funktion wählen und dann einfach mein
> A vorgeben, so dass es kein Intervall ist
der Einheitskreis aus [mm] $\IC$ [/mm] ist auch kein Intervall - dessen Rand auch nicht!
> und schon habe
> ich ein Gegenbeispiel? Wenn ja, dann habe ich vorhin total
> "doof" gedacht xD
Naja, so wie Du es beschreibst, nicht ganz, aber so ähnlich:
Du kannst sowas machen:
Wenn $A [mm] \subseteq \IC$ [/mm] irgendeine nichtzusammenhängende Menge ist (Du kannst etwa $A [mm] \subseteq \IC\,$ [/mm] so wählen, dass [mm] $A\,$ [/mm] nur aus isolierten Punkten besteht), und Du dann [mm] $f(x)=\text{konst} \in \IC$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] A$ setzt, dann ist die einpunktige Menge [mm] $f(A)=\{\text{konst}\}$ [/mm] zusammenhängend und offenbar [mm] $f\,$ [/mm] stetig, aber [mm] $f^{-1}(A)=f^{-1}(\{\text{konst}\})=A$ [/mm] nicht zusammenhängend - nach Wahl von [mm] $A\,.$
[/mm]
P.S.
Und ja, manchmal sieht man triviales erst dann, wenn es einem gezeigt wurde - und bis dahin qualmt manchmal der Kopf. Das ist aber nicht schlimm!
Gruß,
Marcel
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