Zusatzbed. eingesp. Spline < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:55 Do 06.03.2008 | | Autor: | Rutzel |
| Aufgabe | Sei s der eingespannte interpolierende Spline zu den Stützpunkten [mm] (x_k,y_k) [/mm] k= 0,1,...,n, der [mm] s'(x_0)=\alpha [/mm] und [mm] s'(x_n)=\beta [/mm] erfüllt. Leite die nötigen Zusatzbedingungen
[mm] 2M_0+M_1=d_0
[/mm]
[mm] M_{n-1}+2M_n [/mm] = [mm] d_n
[/mm]
mit
[mm] d_0 [/mm] = [mm] \bruch{6}{h_1}(y[x_0,x_1]-\alpha)
[/mm]
[mm] d_n [/mm] = [mm] \bruch{6}{h_n}(\beta [/mm] - [mm] y[x_{n-1},x_n])
[/mm]
her. |
Hallo,
bei dieser Aufgabe bin ich leider völlig ratlos.
Mein Ansatz für [mm] d_0 [/mm] war:
[mm] s'(x_0)=s_1'(x_0)=-M_{i-1}\bruch{(x_i-x)^2}{2h_i}+M_i\bruch{(x-x_{i-1})^2}{2h_i}+c_i
[/mm]
mit [mm] c_i=\bruch{y_i-y_{i-1}}{h_i}-\bruch{h_i}{6}(M_i-M_{i-1})
[/mm]
dort für i überall 1 einsetzen und ausrechnen. Leider kam ich so nicht weiter, da ich keine Beziehung zu [mm] d_0 [/mm] herstellen konnte.
Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?
Gruß
Rutzel
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Hallo,
ich finde es sehr schwer, Dir hier zu helfen, weil Du gar nicht sagst, was es mit den ganzen Buchstaben auf sich hat und wie Deine Lösung des Interpolationsproblems ohne die beiden Randbedingungen lautet.
Zu den 4n-2 Bedingungen, die durch Stetigkeit und Glattheit vorgeben sind, kommen noch die beiden Bedingungen an die Steigung an den Rändern dazukommen,
also [mm] s_1'(x_0)=\alpha [/mm] und [mm] s_n'(x_n)=\beta.
[/mm]
Durch diese Randbedingungen wird das lineare GS, welches ohne die Randbedingungen aus 4n-2 Gleichungen mit 4n Variablen bestand, also 2 Freiheitsgrade hatte, zu einem eindeutig lösbaren GS ergänzt.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:49 Fr 07.03.2008 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo Rutzel,
Irgendwie kamen mir deine Gleichungen so bekannt vor... ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") Deshalb habe ich ein wenig gesucht und folgende Diskussion gefunden. Siehe dir dort insbesondere den Artikel "weitere Suche" an. Hilft dir das irgendwie?
Viele Grüße
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:50 Fr 07.03.2008 | | Autor: | Rutzel |
ich dachte, die formelzeichen seien klar, da jeder die selben benutzt.
nun,
die [mm] M_i [/mm] sind die Momente
[mm] x_i [/mm] die Stützstellen
[mm] y_i [/mm] Stützwerte
und die [mm] h_i [/mm] der Abstand zwischen zwei Stützstellen.
@KarlPech: das von dir verlinkte Pdf https://matheraum.de/uploads/forum/00227828/forum-i00227828-n001.pdf
bezeichnet den in meiner Aufgabe genannte "eigespannten Spline" als Hermite-Spline (ich habe auch schon die bezeichnung "vollständigen Spline" für die gleichen Randbedingungen gelesen). Jedoch wird in diesem Pdf auch nur die Lösung gegeben.
Leider findet sich nirgends (in keinen Büchern / im Netz) eine Herleitung. Jeder gibt einfach das Endergebnis an, mit verweis, dass dies aus den Randbedingungen folgt.
Gruß,
Rutzel
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Hallo,
![[]](/images/popup.gif) hier findest Du die Herleitung für natürliche Randbedingungen. Ich denke, daß Du Dich hieran entlanghangeln kannst.
In Deinem Falle ist dann natürlich nicht [mm] M_0=M_n=0. [/mm]
Du mußt sicher an passender Stelle $ [mm] s'(x_0)=\alpha [/mm] $ und $ [mm] s'(x_n)=\beta [/mm] $ verwenden.
Gruß v. Angela
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