Zustandsmodell < Regelungstechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:28 Sa 14.11.2009 | | Autor: | Kapaun64 |
Hallo,
ich muss aus folgenden Bewegungsgleichungen ein Zustandsmodell aufstellen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dabei ist [mm] \delta [/mm] die Steuergröße. "Theta" der Neigungswinkel, der durch [mm] \delta [/mm] eingestellt wird und x die Bewegung in horizontaler Richtung.
Leider komme ich im Moment nicht weiter, bin für jeden Tipp dankbar!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:30 Sa 14.11.2009 | | Autor: | Infinit |
Hallo Kapaun64,
für so eine Zustandsgleichung fürhrt man Hilfsvariablen ein, die so gewählt werden, dass auf der linken Seite des Gleichungssystems erste Ableitungen stehen. Da bei Dir auch zweite Ableitungen vorkommen, bietet sich die folgende Substitution an:
$$ y = [mm] \bruch{d \theta}{dt} [/mm] $$ und
$$ z = [mm] \bruch{d x}{d t} \, [/mm] . $$
Damit solltest du weiterkommen.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:16 Sa 14.11.2009 | | Autor: | Kapaun64 |
Hallo Infinit,
irgendwie steh ich auf der Leitung. Ich habe es substituiert, aber in der zweiten Gleichung kommt ja der Term g*Theta vor. Wenn ich den jetzt mit [mm] y^2/2 [/mm] substituiere, so hat meine A-Matrix einen Term mit [mm] x^2 [/mm] und das kann ja nicht ganz richtig sein oder liege ich da falsch?
lg
Kapaun64
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:25 Sa 14.11.2009 | | Autor: | Infinit |
Hallo Kapaun64,
dieser Term bleibt, so wie er ist. Du substituierst doch nur erste Ableitungen und das ist hier ja nicht der Fall.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Sa 14.11.2009 | | Autor: | Kapaun64 |
Hallo Infinit,
also wenn ich nur die erste Ableitung substituiere, dann erhalte ich folgendes Ergebnis mit dem ich aber nicht viel anfangen kann:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wenn ich jetzt aber auch die zweite Ableitung substituiere und als Zustandsvariablen y und z einführe so sieht es eher nach einen brauchbaren Ergebnis aus, aber da bleibt mir der Term mit dem Theta erhalten:
[Dateianhang nicht öffentlich]
lg
Kapaun64
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 Sa 14.11.2009 | | Autor: | Infinit |
Hallo kapaun64,
Du bist auf dem richtigen Weg, hast aber die Substitution noch nicht überall zu Ende geführt. Mit den Definitionen für y und z kommst Du auf (ich arbeite hier mal mit dem Punkt für die zeitliche Ableitung):
$$
[mm] \begin{matrix}
\dot y & = & -\sigma y - \alpha_1 z + n \delta \\
\dot z & = & g \theta - \alpha_2 y - \sigma_2 z + g \delta \\
\dot \theta & = & y \\
\dot x & = & z
\end{matrix} [/mm]
$$
Die linearen Terme bleiben Dir erhalten, das ist nun mal so.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 Sa 14.11.2009 | | Autor: | Kapaun64 |
Hallo Infinit,
ich verstehe nicht ganz was du meinst mit Substitution zu Ende führen? Wenn ich jetzt z.B. Theta als dritte Zustandsvariable wähle, dann erhalte ich folgendes Zustandsmodell, aber leider ist diese Lösung nicht brauchbar:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hast du vielleicht noch einen Tipp für mich wo der Fehler liegen könnte.
Danke & lg
Kapaun64
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:30 Sa 14.11.2009 | | Autor: | Infinit |
Hallo kapaun64,
In Deinem Zustandssystem arbeitest Du mit den Variablen [mm] y,\, z,\, \theta, \, x [/mm] und die erste Ableitung steht genau auf der linken Seite. Die rechte Seite kannst Du in eine Matrix umformen, Du musst dazu nur die Terme etwas anders umsortieren und Du kommst mit dem Vektor w, die die oben genannten Variablen enthält, auf einen Ausdruck
$$ [mm] \dot [/mm] w = A w + k $$
Wobei das k ein Spaltenvektor ist, der die Terme enthält, die nicht zum Parametersatz gehören.
Diese Schreibweise ist die, die ich für eine Zustandsgleichung kenne. Ich verstehe nicht, weswegen Du bei Deinem x bleibst, oder soll das jetzt ein Vektor sein?
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Sa 14.11.2009 | | Autor: | Kapaun64 |
Hallo Infinit,
ja x ist ein Vektor, der die Zustandsvariablen y, z und Theta enthält. Im Endeffekt ist es dasselbe wie du geschrieben hast nur dass ich anstatt w, x verwende.
Wenn ich jetzt den Zustandsvektor mit x erweitere, dann erhalte ich ja die selbe Matrix wie zuvor nur mit einer Zeile mehr:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Es ändert sich aber nichts an der Lösung, das Zustandsmodell ist immer noch unbrauchbar.
lg
Kapaun64
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:49 So 15.11.2009 | | Autor: | Infinit |
Hallo kapaun64,
prima, dann sind wir ja da einen Schritt weiter, allerdings kommst Du in Schwierigkeiten mit der Bezeichnung von x als Parameter wie auch als Vektor. Du selbst hast allerdings w als Vektorbezeichnung genommen. Deine Bezeichnungen gehen hier etwas wild durcheinander.
Deine 4 x 4 Matrix für 3 Parameter kann einfach nicht stimmen, schaue doch einmal in den Beitrag von Rene, dann wird die Sache hoffentlich klarer.
Viele Grüße,
Infinit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:31 Sa 14.11.2009 | | Autor: | Rene |
Moin,
ich würde da ganz formal rangehen, d.h. du brauchst pro Ableitung einen Zustand. 2*2. Ableitung also 4 Zustandsvariablen [mm](w_1,w_2,w_3,w_4)[/mm]. Dabei gilt:
[mm]w_1 = \theta[/mm]
[mm]w_2 = x[/mm]
[mm]w_3 =\dot \theta[/mm]
[mm]w_4 = \dot x[/mm]
Jetzt bildest du die 1. Ableitung des Zustands [mm]w[/mm].
[mm]\dot w_1 = \dot\theta[/mm]
[mm]\dot w_2 = \dot x[/mm]
[mm]\dot w_3 =\ddot \theta[/mm]
[mm]\dot w_4 = \ddot x[/mm]
Ein Blick in den oberen Block liefert dir
[mm]\dot w_1 = \dot\theta=w_3[/mm]
[mm]\dot w_2 = \dot x=w_4[/mm]
[mm]\dot w_3[/mm] und [mm] \dot w_4[/mm] entsprechen deinen Gleichungen, in denen du die Zustände substituierst.
[mm]\dot w_3 =\ddot \theta = -\sigma_1\underbrace{\dot \theta}_{w_3} - \alpha_1\underbrace{\dot x}_{w_4} + n\delta[/mm]
[mm]\dot w_4 = \ddot x = g\underbrace{\theta}_{w_1} - \alpha_2\underbrace{\dot\theta}_{w_3} - \sigma_2\underbrace{\dot x}_{w_4} + g\delta[/mm]
Jetzt schreibst du das ganze in Matrixform und fertig
[mm] \vektor{\dot w_1\\\dot w_2 \\\dot w_3\\ \dot w_4}=
\pmat{0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & -\sigma_1 & -\alpha_1\\
g & 0 & -\alpha_2 & -\sigma_2
}
\vektor{ w_1\\ w_2\\ w_3\\ w_4}+\vektor{0\\0\\n\\g}\delta
[/mm]
Wenn du willst, kannst du das ganze dann noch auf 3 Zustände reduzieren.
MFG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:06 So 15.11.2009 | | Autor: | Kapaun64 |
Danke für eure Mühe, hat mir sehr weiter geholfen, jetzt funktioniert auch mein Zustandsregler!
lg
Ivan
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