Zustandsraumdarstellung DGLen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:21 Mi 26.06.2013 | | Autor: | SeGu |
| Aufgabe | Gegeben seien die beiden verkoppelten DGLen
[mm]a_{1}\dot y_{1}(t)+a_{0}y_{1}(t)=u(t)-b_{1}\dot y_{2}(t)[/mm],
[mm]\tilde a_{2}\ddot y_{2}(t)+\tilde a_{1}\dot y_{2}(t)=\Tilde b_{0}y_{1}[/mm]
Überführen Sie die DGLen in eine Zustandsraumdarstellung der Form [mm] \underline{\dot x}(t)=\underline A \underline x(t)+\underline bu(t)[/mm], wobei [mm]y_{2}[/mm] die Ausgangsgröße und [mm]u(t)[/mm] die Eingangsgröße ist. |
Mein Lösungsansatz für die erste DGL sieht jetzt so aus:
[mm]a_{1}\dot y_{1}(t)+a_{0}y_{1}(t)=u(t)-b_{1}\dot y_{2}(t)[/mm]
[mm]b_{1}\dot y_{2}(t)=-a_{0}y_{1}(t)-a_{1}\dot y_{1}(t)+u(t)[/mm] [mm]|:(b_{1})[/mm]
[mm]\dot y_{2}(t)=-\frac{a_{0}}{b_{1}} y_{1}(t)-\frac{a_{1}}{b_{1}}\dot y_{1}(t)+\frac{1}{b_{1}}u(t)[/mm]
mit [mm]\dot x_{1}(t)=\dot y_{2}(t)[/mm] und [mm]x_{1}=y_{1}(t)[/mm] und [mm]x_{2}=\dot y_{1}[/mm]
[mm] \begin{bmatrix}
\dot x_{1} \\
\dot x_{2}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-\frac{a_{0}}{b_{1}} & -\frac{a_{1}}{b_{1}}\\
??? & ???
\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}
x_{1} \\
x_{2}
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
\frac{1}{b_{1}} \\
0
\end{bmatrix}*U
[/mm]
Mein Problem ist die 2.DGL wegen der 2.Ableitung von [mm]y_{2}[/mm]. Dadurch komme ich nicht auf die passende Form für die Zustandsraumdarstellung. Ich wüsste jetzt gerne ob ich in meinem Lösungsansatz schon einen Fehler gemacht habe. Falls nicht wäre es schön, wenn mir jemand einen Tipp für den Lösungsansatz der 2.DGL geben könnte, da ich einfach nicht weiß wie ich da weiter vorgehen muss. Danke schon mal im voraus.
Gruß, Sebastian
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo SeGu,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gegeben seien die beiden verkoppelten DGLen
> [mm]a_{1}\dot y_{1}(t)+a_{0}y_{1}(t)=u(t)-b_{1}\dot y_{2}(t)[/mm],
>
> [mm]\tilde a_{2}\ddot y_{2}(t)+\tilde a_{1}\dot y_{2}(t)=\Tilde b_{0}y_{1}[/mm]
>
> Überführen Sie die DGLen in eine Zustandsraumdarstellung
> der Form [mm]\underline{\dot x}(t)=\underline A \underline x(t)+\underline bu(t)[/mm],
> wobei [mm]y_{2}[/mm] die Ausgangsgröße und [mm]u(t)[/mm] die
> Eingangsgröße ist.
> Mein Lösungsansatz für die erste DGL sieht jetzt so
> aus:
>
> [mm]a_{1}\dot y_{1}(t)+a_{0}y_{1}(t)=u(t)-b_{1}\dot y_{2}(t)[/mm]
>
> [mm]b_{1}\dot y_{2}(t)=-a_{0}y_{1}(t)-a_{1}\dot y_{1}(t)+u(t)[/mm]
> [mm]|:(b_{1})[/mm]
> [mm]\dot y_{2}(t)=-\frac{a_{0}}{b_{1}} y_{1}(t)-\frac{a_{1}}{b_{1}}\dot y_{1}(t)+\frac{1}{b_{1}}u(t)[/mm]
>
> mit [mm]\dot x_{1}(t)=\dot y_{2}(t)[/mm] und [mm]x_{1}=y_{1}(t)[/mm] und
> [mm]x_{2}=\dot y_{1}[/mm]
>
> [mm]\begin{bmatrix}
\dot x_{1} \\
\dot x_{2}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-\frac{a_{0}}{b_{1}} & -\frac{a_{1}}{b_{1}}\\
??? & ???
\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}
x_{1} \\
x_{2}
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
\frac{1}{b_{1}} \\
0
\end{bmatrix}*U[/mm]
>
> Mein Problem ist die 2.DGL wegen der 2.Ableitung von [mm]y_{2}[/mm].
> Dadurch komme ich nicht auf die passende Form für die
> Zustandsraumdarstellung. Ich wüsste jetzt gerne ob ich in
> meinem Lösungsansatz schon einen Fehler gemacht habe.
> Falls nicht wäre es schön, wenn mir jemand einen Tipp
> für den Lösungsansatz der 2.DGL geben könnte, da ich
> einfach nicht weiß wie ich da weiter vorgehen muss. Danke
> schon mal im voraus.
>
Wähle doch folgendes:
[mm]x_{1}=y_{1}\left(t\right), \ x_{2}=y_{2}\left(t\right), \ x_{3}=\dot{x}_{2}=\dot{y}_{2}[/mm]
Dann lautet das DGL-System so:
[mm]a_{1}*\dot{x}_{1}=-a_{0}*x_{1}-b_{1}*x_{3}+u[/mm]
[mm]\dot{x}_{2}=x_{3}[/mm]
[mm]\tilde{a}_{2}*\dot{x}_{3}=-\tilde{a}_{1}*x_{3}+\tilde{b}_{0}*x_{1}[/mm]
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> Gruß, Sebastian
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>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:40 Fr 28.06.2013 | | Autor: | SeGu |
Vielen Dank für deine Antwort. Verstehe aber leider nicht, wieso du 3 Zustände wählst. [mm]\underline{A}[/mm] wird dann ja zu einer 3x3 Matrix. Ich dachte die Anzahl der Zustände und damit die Matrixgröße hängt mit der höchsten Ableitung zusammen. Kommt eine 2.Ableitung vor wird eine 2x2 Matrix für A benötigt.
Könnte man eigentlich auch folgendes wählen?? [mm]x_{1}=y_{1}[/mm], [mm]\dot x_{1}=y_{1}[/mm], [mm]x_{2}=\dot y_{2}[/mm], [mm]\dot x_{2}=\ddot y_{2}[/mm]
Mich würde auch mal interessieren wie du auf deine Zuteilung gekommen bist. Wie bist du da vor gegangen?
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Hallo Segu,
> Vielen Dank für deine Antwort. Verstehe aber leider nicht,
> wieso du 3 Zustände wählst. [mm]\underline{A}[/mm] wird dann ja zu
> einer 3x3 Matrix. Ich dachte die Anzahl der Zustände und
> damit die Matrixgröße hängt mit der höchsten Ableitung
> zusammen. Kommt eine 2.Ableitung vor wird eine 2x2 Matrix
> für A benötigt.
Nun, 3 Zustände, da [mm]y_{2}[/mm] die Ausgangsgröße ist.
> Könnte man eigentlich auch folgendes wählen??
> [mm]x_{1}=y_{1}[/mm], [mm]\dot x_{1}=y_{1}[/mm], [mm]x_{2}=\dot y_{2}[/mm], [mm]\dot x_{2}=\ddot y_{2}[/mm]
>
> Mich würde auch mal interessieren wie du auf deine
> Zuteilung gekommen bist. Wie bist du da vor gegangen?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:22 Sa 06.07.2013 | | Autor: | SeGu |
Deinen Lösungsweg kann ich mittlerweile ganz gut nachvollziehen. Die Zuordnung x1=y1 ist mir aber noch unklar, da es sich ja bei y1 um keine Ausgangsgröße handelt.
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Hallo SeGu,
> Deinen Lösungsweg kann ich mittlerweile ganz gut
> nachvollziehen. Die Zuordnung x1=y1 ist mir aber noch
> unklar, da es sich ja bei y1 um keine Ausgangsgröße
> handelt.
[mm]y_{1}[/mm] kommt doch in den beiden DGLn vor
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:30 So 07.07.2013 | | Autor: | SeGu |
Vielen Dank. Habe die Vorgehensweise jetzt verstanden. Konnte die anderen Übungsaufgaben jetzt auch ohne Probleme lösen.
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