Zwei Lösungen bei 1.Ordnung? < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
ich rechne gerade Aufgaben zu gew. DGL. 1.Ordnung und erhalte manchmal Lösungen mit doppelten Vorzeichen, z.B. :
y= +/- Wurzel (x²+x+c)
Sind das dann zwei allgemeine Lösungen (wegen den beiden Vorzeichen) oder eine Lösung? Anders gefragt: Kann eine DGL auch eine Relation als Lösung haben?
Gleiche Frage auch bei der speziellen Lösung.
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Ja, warum denn nicht?
Die Lösung einer DGL muss keine Funktion sein, sie kann auch z.B. aus einer Funktionsschar bestehen.
Einfachstes Beispiel ist y'=3 mit den Lösungen y=3x+A, wobei du für jedes A eine andere Funktion erhältst.
Ebenso: y'-y=0 mit der Lösung [mm] y=A*e^x, [/mm] oder auch y''+y=0 mit den Lösungen y=A*sin(x) und y=B*cos(x) sowie y=C*sin(x+a) und beliebige Summen dieser Lösungen.
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Danke für die Antwort.
Eine DGL 2. Ordnung kann sicherlich zwei Lösungen haben, wie dein Beispiel angibt, aber die Frage lautete ja, ob es auch bei DGL 1.Ordnung möglich ist.
Ich möchte die Frage präzisieren:
Die allgemeine Lösung ist bekanntlich eine Funktionenschar.
Können zwei Funktionenscharen bei einer DGL 1.Ordnung entstehen?
Anmerkung:
Das eine Funktionenschar und zusätzlich eine Funktion als Lösung entstehen können, ist mir bekannt. Mir geht es darum, ob zwei Funktionenscharen entstehen können, wie z.B. durch das +/- Zeichen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:23 Mo 08.10.2018 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
> ich rechne gerade Aufgaben zu gew. DGL. 1.Ordnung und
> erhalte manchmal Lösungen mit doppelten Vorzeichen, z.B. :
>
> y= +/- Wurzel (x²+x+c)
Ja, so was kommt vor. Z.B. bei der DGL
$2y'y=2x+1$
>
> Sind das dann zwei allgemeine Lösungen (wegen den beiden
> Vorzeichen) oder eine Lösung?
Für jedes c [mm] \in \IR [/mm] sind dann y(x)= [mm] \wurzel{x^2+x+c} [/mm] und y(x)= [mm] -\wurzel{x^2+x+c} [/mm] jeweils Lösungen der DGL.
> Anders gefragt: Kann eine
> DGL auch eine Relation als Lösung haben?
Die Bezeichnung Relation würde ich hier nicht verwenden ! Eine DGL ist i.a. nicht eindeutig lösbar. Sie kann unendlich viele Lösungen haben. Z.B. hat DGL $2y'y=2x+1$ diese Eigenschaft.
>
> Gleiche Frage auch bei der speziellen Lösung.
Was meinst Du mit " der speziellen Lösung" ? Von spezieller Lösung spricht man im Zusammenhang mit linearen DGLn.
Die Funktionen y(x)= [mm] \wurzel{x^2+x+c} [/mm] und y(x)= [mm] -\wurzel{x^2+x+c} [/mm] sind niemals Lösung einer linearen DGL ! Warum ?
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:56 Mo 08.10.2018 | | Autor: | leduart |
Hallo
eigentlich ist [mm] +-\sqrt(..) [/mm] eine Lösung, denn sonst hättest du ja nur y>=0
und mit der Anfangsbedingung y(0)=-2 gar keine Lösung. man könnte also schreiben [mm] y=+\sqrt(..) [/mm] für anfangswerte y(0)>= 0 und [mm] y=-\sqrt(..) [/mm] für Anfangswerte < 0.
oder du schreibst die Lösungskurv implzit als [mm] y^2=x^2+x+c
[/mm]
eine rechtwinklige Hyperbel dann siehst du, dass es nur eine Lösung ist.
dass jede allgemeine Lösung einer Dgl erster Ordnung auch noch eine Konstante hat hat damit nichts zu tun.
Gruß leduart
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