matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-Komplexe AnalysisZweiformen/Integrale
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Zweiformen/Integrale
Zweiformen/Integrale < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Zweiformen/Integrale: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:40 Mi 01.06.2011
Autor: Rubstudent88

Aufgabe 1
Bestimmen sie ein [mm] \alpha \in \IC, [/mm] so dass für alle offenen Mengen [mm] \Omega [/mm] mit (stückweise) glattem Rand gilt:
[mm] \integral_{\Omega}{dx \wedge dy} [/mm] = [mm] \alpha \integral_{\partial \Omega}{-zd\overline{z}+\overline{z}}dz. [/mm]
Bemerkung: Dies ist der Flächeninhalt der Menge [mm] \Omega. [/mm]

Aufgabe 2
Zeigen Sie: [mm] \integral_{\gamma}{fd\overline{z}}=\overline{\integral_{\gamma}{\overline{f}dz}} [/mm]
wobei [mm] \overline{f}(z):=\overline{f(z)} [/mm] gilt.

Aufgabe 3
Es sei r > 0. Berechnen Sie:
[mm] \integral_{\partial\Delta_{r}}{\overline{z}dz} [/mm]
[mm] \integral_{\partial\Delta_{r}}{zd\overline{z}} [/mm]
[mm] \integral_{\partial\Delta_{r}}{\overline{z}d\overline{z}} [/mm]
[mm] \integral_{\partial\Delta_{r}}{zdz} [/mm]

Hallo zusammen,

auch bei dieser Aufgabe wäre ich um eure Hilfe dankbar, da ich nicht wirklich einen Ansatz habe.

Zu 1)

Hier fehlt mir leider jeglicher Ansatz, muss ich z.B. x und y in z und z quer schreiben und dann herumprobieren oder was ist hier verlangt?

Zu 2)

Betrachte das Integral auf der rechten Seite: [mm] \overline{\integral_{\gamma}{\overline{f}dz}}. [/mm] Da [mm] \overline{f}(z):=\overline{f(z)} [/mm] gilt wird aus [mm] \overline{f} [/mm] f. Aus z wird [mm] \overline{z}. [/mm] Das ist soweit für mich klar, aber wie kann ich begründen, dass man komplex konjugieren des Integrals selber nichts passiert?

zu 3)

Hier ist mir noch nicht ganz klar wie ich bei der Berechnung vorgehen soll. Für den Kreis brauche ich eine Parametrisierung oder muss ich hier mit der Cauchy Integrationsformel arbeiten? Wenn man hier mit der Cauchy-Integrationsformel arbeiten muss, könnte mir jemand dann beispielhaft zeigen, wie man bei der Berechnung vorgeht? Das wäre ziemlich cool :).

Beste Grüße

        
Bezug
Zweiformen/Integrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:44 Mi 01.06.2011
Autor: rainerS

Hallo!

> Bestimmen sie ein [mm]\alpha \in \IC,[/mm] so dass für alle offenen
> Mengen [mm]\Omega[/mm] mit (stückweise) glattem Rand gilt:
> [mm]\integral_{\Omega}{dx \wedge dy}[/mm] = [mm]\alpha \integral_{\partial \Omega}{-zd\overline{z}+\overline{z}}dz.[/mm]
>  
> Bemerkung: Dies ist der Flächeninhalt der Menge [mm]\Omega.[/mm]
>  Zeigen Sie:
> [mm]\integral_{\gamma}{fd\overline{z}}=\overline{\integral_{\gamma}{\overline{f}dz}}[/mm]
>  wobei [mm]\overline{f}(z):=\overline{f(z)}[/mm] gilt.
>  Es sei r > 0. Berechnen Sie:

>  [mm]\integral_{\partial\Delta_{r}}{\overline{z}dz}[/mm]
>  [mm]\integral_{\partial\Delta_{r}}{zd\overline{z}}[/mm]
>  [mm]\integral_{\partial\Delta_{r}}{\overline{z}d\overline{z}}[/mm]
>  [mm]\integral_{\partial\Delta_{r}}{zdz}[/mm]
>  Hallo zusammen,
>  
> auch bei dieser Aufgabe wäre ich um eure Hilfe dankbar, da
> ich nicht wirklich einen Ansatz habe.
>  
> Zu 1)
>  
> Hier fehlt mir leider jeglicher Ansatz, muss ich z.B. x und
> y in z und z quer schreiben und dann herumprobieren oder
> was ist hier verlangt?

Tipp: bilde die äußere Ableitung von [mm] $zd\overline{z}+\overline{z}$. [/mm]

>  
> Zu 2)
>  
> Betrachte das Integral auf der rechten Seite:
> [mm]\overline{\integral_{\gamma}{\overline{f}dz}}.[/mm] Da
> [mm]\overline{f}(z):=\overline{f(z)}[/mm] gilt wird aus [mm]\overline{f}[/mm]
> f. Aus z wird [mm]\overline{z}.[/mm] Das ist soweit für mich klar,
> aber wie kann ich begründen, dass man komplex konjugieren
> des Integrals selber nichts passiert?

Gar nicht, denn es ist falsch.

Tipp: setze die Definition des Kurvenintegrals ein.

>  
> zu 3)
>  
> Hier ist mir noch nicht ganz klar wie ich bei der
> Berechnung vorgehen soll. Für den Kreis brauche ich eine
> Parametrisierung oder muss ich hier mit der Cauchy
> Integrationsformel arbeiten? Wenn man hier mit der
> Cauchy-Integrationsformel arbeiten muss, könnte mir jemand
> dann beispielhaft zeigen, wie man bei der Berechnung
> vorgeht? Das wäre ziemlich cool :).

Die Integralformel von Cauchy hilft dir nicht.  Du musst nur eines der Integrale wirklich ausrechnen: Benutze das Ergebnis on Aufgabe 2, um zwei der Integrale auf die beiden anderen zurückzuführen. Das vierte Integral ist nach Cauchy 0.

Dann kannst du das verbleibende Integral mit Wahl einer Parametrisierung explizit ausrechnen.

  Viele Grüße
    Rainer


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]