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Zweiseitiger Hypothesentest: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:43 Sa 21.02.2015
Autor: hase-hh

Aufgabe
Ein Hersteller behauptet, dass die Ausschussquote  20% beträgt.

Diese Behauptung soll überprüft werden.  Dazu werden 100 Teile getestet; das Signifikanzniveau soll dabei 5% betragen.

[mm] H_0: [/mm]  p = 0,2    ist binomialverteilt mit n=100 und p =0,2; sowie X: "Anzahl der defekten Teile in der Stichprobe".  

Gegenhypothese:   [mm] H_1 \ne [/mm] 0,2.


[mm] g_L [/mm]   linke Grenze des Ablehnungsbereichs
[mm] g_R [/mm]  rechte Grenze des Ablehnungsbereichs

V = Verwerfungsbereich
A = Annahmebereich


Moin Moin,

ich habe dazu ein zwei methodische Fragen.


Bestimmen des Ablehnungsbereichs [ und des Annahmebereichs]

1. Lösungsweg

P (X [mm] \le g_L) \le [/mm] 0,025        und    

P (X [mm] \ge g_R) \le [/mm] 0,025
1 - P (X < [mm] g_R) \le [/mm] 0,025
1 - P (X [mm] \le g_R [/mm] -1) [mm] \le [/mm] 0,025
P (X [mm] \le g_R [/mm] -1) [mm] \ge [/mm] 0,975


Der kumulierten Binomialverteilungstabelle entnehmen wir

k     p = 0,2


10   0,0057
11   0,0126     =>  [mm] g_L [/mm] = 11
12   0,0253


27   0,9658
28   0,9800    => [mm] g_R [/mm] - 1 = 28   bzw.  [mm] g_R [/mm] = 29
29   0,9888

V = {0,1...., 11}  [mm] \cup [/mm]  {29,..., 100}

Soweit so gut.


2. Lösungsweg  (falls ich keine Tabelle habe...) über Annäherung durch die Normalverteilung
inklusive Stetigkeitskorrektur

[mm] \mu [/mm] = 20   [mm] \sigma [/mm] = 4

P (X [mm] \le g_L) \le [/mm] 0,025    

[mm] \phi(\bruch{g_L +0,5 -20}{4}) \le [/mm] 0,025     und

=>  [mm] \bruch{g_L +0,5 -20}{4}) \le [/mm]  -1,96

[mm] g_L \le [/mm] 11,66     =>   [mm] g_L [/mm] = 11


P (X [mm] \le g_R [/mm] - 1) [mm] \ge [/mm] 0,975

[mm] \phi(\bruch{g_R -1 +0,5 -20}{4}) \ge [/mm] 0,975

[mm] \bruch{g_R -1 +0,5 -20}{4} \ge [/mm] 1,96

[mm] g_R \ge [/mm] 28,84

[mm] g_R [/mm] = 29


Richtig?


3. Lösungsweg  mit Konfidenzintervall

Annahmebereich:     [ [mm] \mu [/mm] - [mm] 1,96*\sigma [/mm] ; [mm] \mu [/mm] + [mm] 1,96*\sigma [/mm] ]

[12,16 ; 27,84 ]


Hier gibt es jetzt zwei Probleme. Wie ist sinnvollerweise zu runden.

a) nach innen  [13; 27]  dann ergäbe sich ein größerer Verwerfungsbereich als bei den Lösungswegen 1 und 2; aber das Signifikanzn iveau würde eingehalten.

b) nach außen [12; 28]  dann würde dies mit dem Verwerfungsbereich der anderen Lösungswege übereinstimmen, aber das Signifikanzniveu würde nicht immer eingehalten werden.

???


Wie sieht es hier mit der Stetigkeitskorrektur aus? Muss man die Stetigkeitskorrektur eigentlich berücksichtigen oder nicht???

[ [mm] \mu [/mm] -0,5 - [mm] 1,96*\sigma [/mm] ; [mm] \mu [/mm] +0,5 + [mm] 1,96*\sigma [/mm] ]


Danke für eure Hilfe!




        
Bezug
Zweiseitiger Hypothesentest: nicht gar zu pingelig ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:28 So 22.02.2015
Autor: Al-Chwarizmi


> Ein Hersteller behauptet, dass die Ausschussquote  20%
> beträgt.
>
> Diese Behauptung soll überprüft werden.  Dazu werden 100
> Teile getestet; das Signifikanzniveau soll dabei 5%
> betragen.
>  
> [mm]H_0:[/mm]  p = 0,2    ist binomialverteilt mit n=100 und p =0,2;
> sowie X: "Anzahl der defekten Teile in der Stichprobe".  
>
> Gegenhypothese:   [mm]H_1 \ne[/mm] 0,2.
>  
>
>  [mm]g_L[/mm]   linke Grenze des Ablehnungsbereichs       [haee]
>  [mm]g_R[/mm]  rechte Grenze des Ablehnungsbereichs       [haee]

(Sollte da nicht eher von der linken und rechten Grenze
des Akzeptanzbereichs die Rede sein, welcher zwischen den
beiden Teilen des Ablehnungsbereichs steht ??
[mm] g_L [/mm]  wäre auch die rechte Grenze des linken Teils des Ablehnungs-
bereiches.)

  

>  V = Verwerfungsbereich
>  A = Annahmebereich
>  
> Moin Moin,
>  
> ich habe dazu ein zwei methodische Fragen.
>
>
> Bestimmen des Ablehnungsbereichs [ und des
> Annahmebereichs]
>  
> 1. Lösungsweg
>  
> P (X [mm]\le g_L) \le[/mm] 0,025        und    
>
> P (X [mm]\ge g_R) \le[/mm] 0,025
>  1 - P (X < [mm]g_R) \le[/mm] 0,025
>  1 - P (X [mm]\le g_R[/mm] -1) [mm]\le[/mm] 0,025
>  P (X [mm]\le g_R[/mm] -1) [mm]\ge[/mm] 0,975
>  
>
> Der kumulierten Binomialverteilungstabelle entnehmen wir
>  
> k     p = 0,2
>  
>
> 10   0,0057
>  11   0,0126    =>  [mm]g_L[/mm] = 11
>  12   0,0253
>  
>
> 27   0,9658
>  28   0,9800   => [mm]g_R[/mm] - 1 = 28   bzw.  [mm]g_R[/mm] = 29

> 29   0,9888     [haee]

Da  binomcdf(100,0.2,28) = 0.98 > 0.975 ist, sollte der Wert 28 schon zum
Ablehnungsbereich gehören.

  

> V = {0,1...., 11}  [mm]\cup[/mm]  {29,..., 100}

Nach meiner Meinung:

  V = {0,1...., 11}  [mm]\cup[/mm]  {28,..., 100}


  

> 2. Lösungsweg  (falls ich keine Tabelle habe...) über
> Annäherung durch die Normalverteilung
> inklusive Stetigkeitskorrektur
>
> [mm]\mu[/mm] = 20   [mm]\sigma[/mm] = 4
>  
> P (X [mm]\le g_L) \le[/mm] 0,025    
>
> [mm]\phi(\bruch{g_L +0,5 -20}{4}) \le[/mm] 0,025     und
>  
> =>  [mm]\bruch{g_L +0,5 -20}{4}) \le[/mm]  -1,96

>  
> [mm]g_L \le[/mm] 11,66     =>   [mm]g_L[/mm] = 11

>  
>
> P (X [mm]\le g_R[/mm] - 1) [mm]\ge[/mm] 0,975
>  
> [mm]\phi(\bruch{g_R -1 +0,5 -20}{4}) \ge[/mm] 0,975
>
> [mm]\bruch{g_R -1 +0,5 -20}{4} \ge[/mm] 1,96
>
> [mm]g_R \ge[/mm] 28,84
>
> [mm]g_R[/mm] = 29
>  
>
> Richtig?
>  
>
> 3. Lösungsweg  mit Konfidenzintervall
>  
> Annahmebereich:     [ [mm]\mu[/mm] - [mm]1,96*\sigma[/mm] ; [mm]\mu[/mm] + [mm]1,96*\sigma[/mm]
> ]
>  
> [12,16 ; 27,84 ]
>  
>
> Hier gibt es jetzt zwei Probleme. Wie ist sinnvollerweise
> zu runden.
>  
> a) nach innen  [13; 27]  dann ergäbe sich ein größerer
> Verwerfungsbereich als bei den Lösungswegen 1 und 2; aber
> das Signifikanzn iveau würde eingehalten.
>  
> b) nach außen [12; 28]  dann würde dies mit dem
> Verwerfungsbereich der anderen Lösungswege
> übereinstimmen, aber das Signifikanzniveu würde nicht
> immer eingehalten werden.
>
> ???
>
>
> Wie sieht es hier mit der Stetigkeitskorrektur aus? Muss
> man die Stetigkeitskorrektur eigentlich berücksichtigen
> oder nicht???
>  
> [ [mm]\mu[/mm] -0,5 - [mm]1,96*\sigma[/mm] ; [mm]\mu[/mm] +0,5 + [mm]1,96*\sigma[/mm] ]
>  
>
> Danke für eure Hilfe!


Hallo Hase,

ich verstehe nicht, was für einen Unterschied du zwischen
deinem zweiten und dritten Lösungsweg überhaupt
konstruieren willst. Das ist doch eigentlich von der Idee
her zweimal exakt dasselbe, nur mit etwas unterschiedlichen
Ausdrucksweisen verbrämt ...  oder sehe ich das falsch ?

Führt man die Rechnung mittels Normalverteilung durch,
so kommt man, wie du richtig ermittelt hast, zunächst
auf das 95% - Intervall    12.16 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 27.84 .  
Dieses Intervall ist jenes Intervall der x-Achse eines
Koordinatensystems, über welchem die "mittleren" 95%
des Flächeninhalts jener Normalverteilungskurve liegen,
die wir als Approximation für die eigentlich interessierende
Binomialverteilung (mit ihrem Säulendiagramm) verwenden.
Nun ist noch die logische Situation zu beachten: die "Null-
hypothese" ist die Aussage, dass der Ausschussanteil 20%
betrage. Und nun gilt für einen, der diese Nullhypothese
allenfalls anfechten möchte, wie vor Gericht quasi der Grundsatz
"in dubio pro reo". Dies heißt, dass man hier den (zwischen
den beiden Teilen des Ablehnungsbereiches liegenden)
Annahmebereich eher ein wenig ausdehnen als einschränken
sollte. Um auch der "Stetigkeitskorrektur" gerecht zu werden,
rechnen wir zunächst:

12.16-0.5 = 11.66
27.84+0.5 = 28.34

und runden die 11.66 auf die Ganzzahl 11 ab und die 28.34 auf 29 auf.
Die so erhaltenen Werte sind nun jene, von welchen an die Nullhypothese
mit gutem Grund auf Basis von  [mm] \alpha [/mm] = 0.05  ablehnen kann.
Abgelehnt wird die Nullhypothese also, falls [mm] k\le [/mm] 11  oder  [mm] k\ge [/mm] 29 .
Akzeptiert wird sie im Fall  [mm] 12\le [/mm] k [mm] \le [/mm] 28 .

Nach der Korrektur, die ich oben (1. Weg) angebracht
habe, ergibt sich also zwischen den beiden Lösungswegen
doch ein (minimaler) Unterschied: in einem Fall wird k=28
noch akzeptiert, im anderen Fall nicht. Das hat auch damit
zu tun, dass der "Buckel" einer Normalverteilungskurve
im Gegensatz zu der einer Binomialverteilung (für [mm] p\not=0.5) [/mm]
symmetrisch ist.  

Auch im Falle der Binomialverteilung könnte man aber
allenfalls rechtfertigen, den Wert k=28 noch zum Akzeptanz-
bereich mit [mm] \alpha [/mm] = 0.05  zu rechnen, denn es gilt:

      [mm] $\summe_{k=12}^{28}binompdf(100,0.2,k)>0.95$ [/mm]

und sogar schon

      [mm] $\summe_{k=12}^{27}binompdf(100,0.2,k)>0.95$ [/mm]


(Zwar liegen nun "rechts draußen" ein bisschen mehr als 2.5%
Wahrscheinlichkeit, "links draußen" aber so wenig , so dass
die Summe immer noch unter 5% bleibt ...)
Dieses letztere Argument zeigt auch, dass man bei derartigen
Berechnungen wohl nicht so überpingelig sein sollte, wie
es gewisse Lehrer dann trotzdem vormachen ...

LG  ,   Al-Chwarizmi




Bezug
                
Bezug
Zweiseitiger Hypothesentest: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:04 So 22.02.2015
Autor: rmix22


>  Dieses letztere Argument zeigt auch, dass man bei derartigen
>  Berechnungen wohl nicht so überpingelig sein sollte,

[daumenhoch]

>  wie es gewisse Lehrer dann trotzdem vormachen ...

[s04applaus]

Das ist fürwahr ein wahres Wort!

Gruß RMix

Bezug
                
Bezug
Zweiseitiger Hypothesentest: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:22 Mo 23.02.2015
Autor: hase-hh


> > Ein Hersteller behauptet, dass die Ausschussquote  20%
> > beträgt.
> >
> > Diese Behauptung soll überprüft werden.  Dazu werden 100
> > Teile getestet; das Signifikanzniveau soll dabei 5%
> > betragen.
>  >  
> > [mm]H_0:[/mm]  p = 0,2    ist binomialverteilt mit n=100 und p =0,2;
> > sowie X: "Anzahl der defekten Teile in der Stichprobe".  
> >
> > Gegenhypothese:   [mm]H_1 \ne[/mm] 0,2.
>  >  
> >
> >  [mm]g_L[/mm]   linke Grenze des Ablehnungsbereichs       [haee]

>  >  [mm]g_R[/mm]  rechte Grenze des Ablehnungsbereichs       [haee]
>  
> (Sollte da nicht eher von der linken und rechten Grenze
>  des Akzeptanzbereichs die Rede sein, welcher zwischen den
>  beiden Teilen des Ablehnungsbereichs steht ??
>  [mm]g_L[/mm]  wäre auch die rechte Grenze des linken Teils des
> Ablehnungs-
>  bereiches.)

Du hast Recht, das wäre besser. :-)  


>
> >  V = Verwerfungsbereich

>  >  A = Annahmebereich
>  >  
> > Moin Moin,
>  >  
> > ich habe dazu ein zwei methodische Fragen.
> >
> >
> > Bestimmen des Ablehnungsbereichs [ und des
> > Annahmebereichs]
>  >  
> > 1. Lösungsweg
>  >  
> > P (X [mm]\le g_L) \le[/mm] 0,025        und    
> >
> > P (X [mm]\ge g_R) \le[/mm] 0,025
>  >  1 - P (X < [mm]g_R) \le[/mm] 0,025
>  >  1 - P (X [mm]\le g_R[/mm] -1) [mm]\le[/mm] 0,025
>  >  P (X [mm]\le g_R[/mm] -1) [mm]\ge[/mm] 0,975
>  >  
> >
> > Der kumulierten Binomialverteilungstabelle entnehmen wir
>  >  
> > k     p = 0,2
>  >  
> >
> > 10   0,0057
>  >  11   0,0126    =>  [mm]g_L[/mm] = 11
>  >  12   0,0253
>  >  
> >
> > 27   0,9658
>  >  28   0,9800   => [mm]g_R[/mm] - 1 = 28   bzw.  [mm]g_R[/mm] = 29

> > 29   0,9888     [haee]
>  
> Da  binomcdf(100,0.2,28) = 0.98 > 0.975 ist, sollte der
> Wert 28 schon zum
> Ablehnungsbereich gehören.

Also, da bei 28 bereits 98% erreicht sind (1 -2,5% überschritten sind), muss ich [mm] g_R [/mm] -1 = 27 wählen bzw.  [mm] g_R [/mm] = 28...

Richtig?  

Und wenn das so ist, stimmt dann die Überlegung nicht???   :

1 - P (X [mm]\le g_R[/mm] -1) [mm]\le[/mm] 0,025
P (X [mm]\le g_R[/mm] -1) [mm]\ge[/mm] 0,975

Richtig?


  

> > V = {0,1...., 11}  [mm]\cup[/mm]  {29,..., 100}
>  
> Nach meiner Meinung:
>  
> V = {0,1...., 11}  [mm]\cup[/mm]  {28,..., 100}
>  
>
>
> > 2. Lösungsweg  (falls ich keine Tabelle habe...) über
> > Annäherung durch die Normalverteilung
> > inklusive Stetigkeitskorrektur
> >
> > [mm]\mu[/mm] = 20   [mm]\sigma[/mm] = 4
>  >  
> > P (X [mm]\le g_L) \le[/mm] 0,025    
> >
> > [mm]\phi(\bruch{g_L +0,5 -20}{4}) \le[/mm] 0,025     und
>  >  
> > =>  [mm]\bruch{g_L +0,5 -20}{4}) \le[/mm]  -1,96

>  >  
> > [mm]g_L \le[/mm] 11,66     =>   [mm]g_L[/mm] = 11

>  >  
> >
> > P (X [mm]\le g_R[/mm] - 1) [mm]\ge[/mm] 0,975
>  >  
> > [mm]\phi(\bruch{g_R -1 +0,5 -20}{4}) \ge[/mm] 0,975
> >
> > [mm]\bruch{g_R -1 +0,5 -20}{4} \ge[/mm] 1,96
> >
> > [mm]g_R \ge[/mm] 28,84
> >
> > [mm]g_R[/mm] = 29
>  >  
> >
> > Richtig?
>  >  
> >
> > 3. Lösungsweg  mit Konfidenzintervall
>  >  
> > Annahmebereich:     [ [mm]\mu[/mm] - [mm]1,96*\sigma[/mm] ; [mm]\mu[/mm] + [mm]1,96*\sigma[/mm]
> > ]
>  >  
> > [12,16 ; 27,84 ]
>  >  
> >
> > Hier gibt es jetzt zwei Probleme. Wie ist sinnvollerweise
> > zu runden.
>  >  
> > a) nach innen  [13; 27]  dann ergäbe sich ein größerer
> > Verwerfungsbereich als bei den Lösungswegen 1 und 2; aber
> > das Signifikanzn iveau würde eingehalten.
>  >  
> > b) nach außen [12; 28]  dann würde dies mit dem
> > Verwerfungsbereich der anderen Lösungswege
> > übereinstimmen, aber das Signifikanzniveu würde nicht
> > immer eingehalten werden.
> >
> > ???
> >
> >
> > Wie sieht es hier mit der Stetigkeitskorrektur aus? Muss
> > man die Stetigkeitskorrektur eigentlich berücksichtigen
> > oder nicht???
>  >  
> > [ [mm]\mu[/mm] -0,5 - [mm]1,96*\sigma[/mm] ; [mm]\mu[/mm] +0,5 + [mm]1,96*\sigma[/mm] ]
>  >  
> >
> > Danke für eure Hilfe!
>  
>
> Hallo Hase,
>  
> ich verstehe nicht, was für einen Unterschied du zwischen
>  deinem zweiten und dritten Lösungsweg überhaupt
>  konstruieren willst. Das ist doch eigentlich von der Idee
>  her zweimal exakt dasselbe, nur mit etwas
> unterschiedlichen
>  Ausdrucksweisen verbrämt ...  oder sehe ich das falsch ?

Naja, meine Frage ist ja, ob ich bei der Konstruktion des Konfidenzintervalls die Stetigkeitskorrektur berücksichtigen muss? Dann könnte ich allerdings nachvollziehen, dass das im Prinzip dieselbe Methode ist.

Also muss ich bilden:     [mm] [\mu [/mm] -0,5 [mm] -1,96*\sigma [/mm] ; [mm] \mu [/mm] + 0,5 + [mm] 1,96*\sigma] [/mm]

Richtig?




> Führt man die Rechnung mittels Normalverteilung durch,
>  so kommt man, wie du richtig ermittelt hast, zunächst
>  auf das 95% - Intervall    12.16 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 27.84 .  
> Dieses Intervall ist jenes Intervall der x-Achse eines
>  Koordinatensystems, über welchem die "mittleren" 95%
>  des Flächeninhalts jener Normalverteilungskurve liegen,
>  die wir als Approximation für die eigentlich
> interessierende
>  Binomialverteilung (mit ihrem Säulendiagramm) verwenden.
>  Nun ist noch die logische Situation zu beachten: die
> "Null-
>  hypothese" ist die Aussage, dass der Ausschussanteil 20%
>  betrage. Und nun gilt für einen, der diese Nullhypothese
>  allenfalls anfechten möchte, wie vor Gericht quasi der
> Grundsatz
>  "in dubio pro reo". Dies heißt, dass man hier den
> (zwischen
>  den beiden Teilen des Ablehnungsbereiches liegenden)
>  Annahmebereich eher ein wenig ausdehnen als einschränken
>  sollte.

Das heißt, man rundet im Prinzip vom Erwartungswert weg.

Richtig?



> Um auch der "Stetigkeitskorrektur" gerecht zu
> werden,
>  rechnen wir zunächst:
>  
> 12.16-0.5 = 11.66
>  27.84+0.5 = 28.34
>
> und runden die 11.66 auf die Ganzzahl 11 ab und die 28.34
> auf 29 auf.


Jetzt habe ich aber noch eine Frage.

Bei der Konstruktion es Konfidenzintervalls würde ich ich doch den Annahmebereich festlegen. Das Runden nach außen würde also dann dazu führen, dass mein Annahmebereich [11; 29]  wäre, oder nicht?!????

Etwas verwirrend!?!


>  Die so erhaltenen Werte sind nun jene, von welchen an die
> Nullhypothese
>  mit gutem Grund auf Basis von  [mm]\alpha[/mm] = 0.05  ablehnen
> kann.
>  Abgelehnt wird die Nullhypothese also, falls [mm]k\le[/mm] 11  oder
>  [mm]k\ge[/mm] 29 .
>  Akzeptiert wird sie im Fall  [mm]12\le[/mm] k [mm]\le[/mm] 28 .
>  
> Nach der Korrektur, die ich oben (1. Weg) angebracht
>  habe, ergibt sich also zwischen den beiden Lösungswegen
>  doch ein (minimaler) Unterschied: in einem Fall wird k=28
>  noch akzeptiert, im anderen Fall nicht. Das hat auch
> damit
>  zu tun, dass der "Buckel" einer Normalverteilungskurve
>  im Gegensatz zu der einer Binomialverteilung (für
> [mm]p\not=0.5)[/mm]
>  symmetrisch ist.  
>
> Auch im Falle der Binomialverteilung könnte man aber
>  allenfalls rechtfertigen, den Wert k=28 noch zum
> Akzeptanz-
>  bereich mit [mm]\alpha[/mm] = 0.05  zu rechnen, denn es gilt:
>  
> [mm]\summe_{k=12}^{28}binompdf(100,0.2,k)>0.95[/mm]
>  
> und sogar schon
>  
> [mm]\summe_{k=12}^{27}binompdf(100,0.2,k)>0.95[/mm]
>  
>
> (Zwar liegen nun "rechts draußen" ein bisschen mehr als
> 2.5%
>  Wahrscheinlichkeit, "links draußen" aber so wenig , so
> dass
>  die Summe immer noch unter 5% bleibt ...)
>  Dieses letztere Argument zeigt auch, dass man bei
> derartigen
>  Berechnungen wohl nicht so überpingelig sein sollte, wie
>  es gewisse Lehrer dann trotzdem vormachen ...
>  
> LG  ,   Al-Chwarizmi
>  
>
>  

Es geht mir nicht um Pingeligkeit, sondern zunächst um eine klare Handlungsanweisung / eine klare Methodik... Die und deren Ergebnisse man ja dann gerne kritisch diskutieren kann. :-)  

Bezug
                        
Bezug
Zweiseitiger Hypothesentest: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:36 Mo 23.02.2015
Autor: Al-Chwarizmi


> > > Der kumulierten Binomialverteilungstabelle entnehmen wir

> > >    27   0,9658

>  >  >  28   0,9800   => [mm]g_R[/mm] - 1 = 28   bzw.  [mm]g_R[/mm] = 29

> > >    29   0,9888

>  >  
> > Da  binomcdf(100,0.2,28) = 0.98 > 0.975 ist, sollte der
> > Wert 28 schon zum
> > Ablehnungsbereich gehören.    [notok]

Es scheint, dass ich mich da doch selber geirrt und sogar dem
von mir angegebenen Prinzip zuwider argumentiert habe, dass
man im kritischen Fall den Akzeptanzbereich eher etwas
erweitern solle.


> Naja, meine Frage ist ja, ob ich bei der Konstruktion des
> Konfidenzintervalls die Stetigkeitskorrektur
> berücksichtigen muss? Dann könnte ich allerdings
> nachvollziehen, dass das im Prinzip dieselbe Methode ist.
>
> Also muss ich bilden:     [mm][\mu[/mm] -0,5 [mm]-1,96*\sigma[/mm] ; [mm]\mu[/mm] +
> 0,5 + [mm]1,96*\sigma][/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


>
> Richtig?

An dieser Stelle ist es nun natürlich ganz wichtig, wie du
die Schrankenwerte (g_L und g_R) genau verstanden haben willst.
Ich würde die Lösung für das vorliegende Beispiel etwa so
formulieren:
Die Nullhypothese (Ausschussanteil 20%) soll akzeptiert
werden, falls die Anzahl der Ausschussstücke unter 100
zufällig herausgegriffenen produzierten Stück einen Wert
k mit  a \le k \le b  annimmt, wobei

    $\ a\ =\ \left{\lceil}\mu - z*\sigma - 0.5\right{\rceil}\ =\ \left{\lfloor}\mu - z*\sigma + 0.5\right{\rfloor}$     (***)
    $\ b\ =\ \left{\lfloor}\mu + z*\sigma + 0.5\right{\rfloor}$

Im Beispiel natürlich mit \mu=20 , z=1.96 , \sigma=1.96

(beachte die verwendeten Klammern für die ceiling- und
die floor-Funktion !)
  

> Jetzt habe ich aber noch eine Frage.
>
> Bei der Konstruktion es Konfidenzintervalls würde ich ich
> doch den Annahmebereich festlegen. Das Runden nach außen
> würde also dann dazu führen, dass mein Annahmebereich
> [11; 29]  wäre, oder nicht?!????

Nein, ich denke, jetzt verwechselst du wieder was (oder
änderst deine Definitionen deiner g_L und g_R ...


> Es geht mir nicht um Pingeligkeit, sondern zunächst um
> eine klare Handlungsanweisung / eine klare Methodik... Die
> und deren Ergebnisse man ja dann gerne kritisch diskutieren
> kann. :-)

Genau so verstehe ich es auch.

LG  ,   Al-Chw.


(***)   Bemerkung:

Ich schließe an dieser Stelle den absolut unwahrscheinlichen
Fall aus, in welchem der Wert von   $\mu - z*\sigma - 0.5$  sich als
exakt ganzzahlig herausstellen würde ...  

Bezug
                                
Bezug
Zweiseitiger Hypothesentest: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:49 Mi 25.02.2015
Autor: hase-hh


> > > > Der kumulierten Binomialverteilungstabelle entnehmen wir
>  
> > > >    27   0,9658

>  >  >  >  28   0,9800   => [mm]g_R[/mm] - 1 = 28   bzw.  [mm]g_R[/mm] = 29

> > > >    29   0,9888

> >  >  

> > > Da  binomcdf(100,0.2,28) = 0.98 > 0.975 ist, sollte der
> > > Wert 28 schon zum
> > > Ablehnungsbereich gehören.    [notok]
>  
> Es scheint, dass ich mich da doch selber geirrt und sogar
> dem
>  von mir angegebenen Prinzip zuwider argumentiert habe,
> dass
>  man im kritischen Fall den Akzeptanzbereich eher etwas
>  erweitern solle.

Mir ist nicht ganz klar, was du damit meinst...


>  
> An dieser Stelle ist es nun natürlich ganz wichtig, wie
> du
>  die Schrankenwerte [mm](g_L[/mm] und [mm]g_R)[/mm] genau verstanden haben
> willst.
>  Ich würde die Lösung für das vorliegende Beispiel etwa
> so
>  formulieren:
>  Die Nullhypothese (Ausschussanteil 20%) soll akzeptiert
>  werden, falls die Anzahl der Ausschussstücke unter 100
>  zufällig herausgegriffenen produzierten Stück einen
> Wert
>  k mit  a [mm]\le[/mm] k [mm]\le[/mm] b  annimmt, wobei
>  
> [mm]\ a\ =\ \left{\lceil}\mu - z*\sigma - 0.5\right{\rceil}\ =\ \left{\lfloor}\mu - z*\sigma + 0.5\right{\rfloor}[/mm]
>     (***)
>      [mm]\ b\ =\ \left{\lfloor}\mu + z*\sigma + 0.5\right{\rfloor}[/mm]
>  
> Im Beispiel natürlich mit [mm]\mu=20[/mm] , z=1.96 , [mm]\sigma=1.96[/mm]
>  
> (beachte die verwendeten Klammern für die ceiling- und
>  die floor-Funktion !)

Was bitte ist die ceiling- und was die floor-Funktion???



Bezug
                                        
Bezug
Zweiseitiger Hypothesentest: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:10 Mi 25.02.2015
Autor: Al-Chwarizmi


>  > ...  Prinzip, dass man im kritischen Fall den Akzeptanzbereich

>  >  eher etwas erweitern solle.
>  
> Mir ist nicht ganz klar, was du damit meinst...

Bei einem Hypothesentest geht es immer um eine
sogenannte Nullhypothese und die Alternative dazu.
Die Nullhypothese kann nur mit statistisch zwingenden
Argumenten abgelehnt werden. Also gilt quasi:
"im Grenzfall zugunsten der Nullhypothese".


>  >  Die Nullhypothese (Ausschussanteil 20%) soll akzeptiert
>  >  werden, falls die Anzahl der Ausschussstücke unter
> > 100  zufällig herausgegriffenen produzierten Stück einen
> > Wert  k mit  a [mm]\le[/mm] k [mm]\le[/mm] b  annimmt, wobei
>  >  
> >  [mm]\ a\ =\ \left{\lceil}\mu - z*\sigma - 0.5\right{\rceil}\ =\ \left{\lfloor}\mu - z*\sigma + 0.5\right{\rfloor}[/mm]

> >   [mm]\ b\ =\ \left{\lfloor}\mu + z*\sigma + 0.5\right{\rfloor}[/mm]

  

> > Im Beispiel natürlich mit [mm]\mu=20[/mm] , z=1.96 , [mm]\sigma=1.96[/mm]
>  >  
> > (beachte die verwendeten Klammern für die ceiling- und
>  >  die floor-Funktion !)
>  
> Was bitte ist die ceiling- und was die floor-Funktion???


Die Floor-Funktion ist das strikte Abrunden auf die nächst-
kleinere ganze Zahl. Dafür verwendet man auch den Begriff
"Gauss-Klammer" und verwendete die normalen eckigen
Klammern  [  ] .
Seit einiger Zeit hat sich aber die Verwendung von Klammern
eingebürgert, die entweder nur unten oder oben einen Winkel
haben. Sie stehen dann entweder für das strikte Abrunden
(wie schon bei Gauss) oder für das strikte Aufrunden und
sind in dieser Weise auch intuitiv sehr eingänglich.

[]Abrundungsfunktion und Aufrundungsfunktion  

Wie man diese speziellen Klammern in T_EX schreibt, kannst
du im Originaltext dieser Antwort erkennen.

LG ,   Al-Chw.

Bezug
        
Bezug
Zweiseitiger Hypothesentest: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 10:43 Mi 25.02.2015
Autor: hase-hh

Aufgabe
Ein Hersteller behauptet, dass die Ausschussquote 20% beträgt.

Diese Behauptung soll überprüft werden. Dazu werden 100 Teile getestet; das Signifikanzniveau soll dabei 5% betragen.

[mm]H_0:[/mm] p = 0,2 ist binomialverteilt mit n=100 und p =0,2; sowie X: "Anzahl der defekten Teile in der Stichprobe".  

Gegenhypothese: [mm]H_1 \ne[/mm] 0,2.

Ich definiere also die Grenzen des Verwerfungsbereichs !!
[mm]g_L[/mm]  linksseitige Grenze des Verwerfungsbereichs
[mm]g_R[/mm]  rechtsseitige Grenze des Verwerfungssbereichs

V = Verwerfungsbereich
A = Annahmebereich


Moin Moin!

Das hat mich jetzt zu sehr verwirrt. Ich fange nochmal von vorne an.
Wie gesagt, es geht mir um methodische Fragen!  

Bestimmen des Verwerfungsbereichs --- 1. Lösungsweg
  
P (X [mm]\le g_L) \le[/mm] 0,025        und    

P (X [mm]\ge g_R) \le[/mm] 0,025
1 - P (X < [mm]g_R) \le[/mm] 0,025
1 - P (X [mm]\le g_R[/mm] -1) [mm]\le[/mm] 0,025
P (X [mm]\le g_R[/mm] -1) [mm]\ge[/mm] 0,975

Der kumulierten Binomialverteilungstabelle entnehmen wir

k     p = 0,2
  
10   0,0057
11   0,0126    =>  [mm]g_L[/mm] = 11
12   0,0253
  

27   0,9658
28   0,9800   => [mm]g_R[/mm] - 1 = 28   bzw.  [mm]g_R[/mm] = 29
29   0,9888
  
V = {0,1...., 11}  [mm]\cup[/mm]  {29,..., 100}
  
Richtig?
  

Bestimmen des Verwerfungsbereichs --- 2. Lösungsweg  (falls ich keine Tabelle habe...) über Annäherung durch die Normalverteilung inklusive Stetigkeitskorrektur

[mm]\mu[/mm] = 20   [mm]\sigma[/mm] = 4
  
P (X [mm]\le g_L) \le[/mm] 0,025    

[mm]\phi(\bruch{g_L +0,5 -20}{4}) \le[/mm] 0,025     und  

=>  [mm]\bruch{g_L +0,5 -20}{4} \le[/mm]  -1,96
  
[mm]g_L \le[/mm] 11,66     =>   [mm]g_L[/mm] = 11
  

P (X [mm]\le g_R[/mm] - 1) [mm]\ge[/mm] 0,975
  
[mm]\phi(\bruch{g_R -1 +0,5 -20}{4}) \ge[/mm] 0,975

[mm]\bruch{g_R -1 +0,5 -20}{4} \ge[/mm] 1,96

[mm]g_R \ge[/mm] 28,84

[mm]g_R[/mm] = 29
  

Richtig?


Bestimmen des Annahmebereichs --- 3. Lösungsweg  mit Konfidenzintervall  

Aus der Diskussion habe ich entnommen, dass ich hier auch die Stetigkeitskorrektur berücksichtigen muss, d.h.
  
Annahmebereich:     [ [mm]\mu[/mm] -0,5 - [mm]1,96*\sigma[/mm] ; [mm]\mu[/mm] +0,5 + [mm]1,96*\sigma[/mm] ]
  
[11,66 ; 28,34 ]


Es bleibt die Frage, wie ist sinnvollerweise zu runden?

a) Runde ich hier jetzt nach innen (zum Erwartungswert hin), erhalte ich einen Annahmebereich [12;28]   und der Verwerfungsbereich stimmt mit den beiden anderen Lösungswegen überein nämlich V = {0,1...., 11}  [mm]\cup[/mm]  {29,..., 100}; ich nehme damit aber ggf. eine etwas höheres Signifikanzniveau in Kauf; oder ist dies schon durch die Stetigkeitskorrektur berücksichtigt???    

b) Runde ich nach außen [11; 29]  dann würde hier der Verwerfungsbereich kleiner sein?!  nämlich V = {0,1...., 10}  [mm]\cup[/mm]  {30,..., 100},
aber das Signifikanzniveau in jedem Fall eingehalten werden.


Danke für eure Hilfe!


Bezug
                
Bezug
Zweiseitiger Hypothesentest: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:20 Fr 27.02.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                
Bezug
Zweiseitiger Hypothesentest: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:20 Fr 27.02.2015
Autor: hase-hh

Ich fasse also zusammen,

1. Ich muss methodisch streng unterscheiden, ob ich die Grenzen des Verwerfungsbereichs oder die Grenzen des Annahmebereichs untersuche.


2. Bei der Bildung meines Konfidenzintervalls muss ich die Stetigkeitskorrektur berücksichtigen.   Richtig?

2a. Habe ich nicht durch die Stetigkeitskorrektur bereits eine Vergrößerung des Annahmebereichs vorgenommen?     Richtig?

2b. Ich würde daraus folgern, dass ich anschließend zum Erwartungswert hin runden muss. Dies würde mit dem Ergebnis meiner Rechnung s.u. auch besser passen.   Richtig?


3. Alternative:  Ich berücksichtige bei Bildung des Konfidenzintervalls die Stetigkeitskorrektur nicht, und runde dann anschließend vom Erwartungswert weg.   Wäre dies auch ein Weg?  

> Bestimmen des Annahmebereichs --- 3. Lösungsweg  mit
> Konfidenzintervall  
>
> Aus der Diskussion habe ich entnommen, dass ich hier auch
> die Stetigkeitskorrektur berücksichtigen muss, d.h.
>
> Annahmebereich:     [ [mm]\mu[/mm] -0,5 - [mm]1,96*\sigma[/mm] ; [mm]\mu[/mm] +0,5 +
> [mm]1,96*\sigma[/mm] ]
>    
> [11,66 ; 28,34 ]
>  
>
> Es bleibt die Frage, wie ist sinnvollerweise zu runden?
>  
> a) Runde ich hier jetzt nach innen (zum Erwartungswert
> hin), erhalte ich einen Annahmebereich [12;28]   und der
> Verwerfungsbereich stimmt mit den beiden anderen
> Lösungswegen überein nämlich V = {0,1...., 11}  [mm]\cup[/mm]  
> {29,..., 100}; ich nehme damit aber ggf. eine etwas
> höheres Signifikanzniveau in Kauf; oder ist dies schon
> durch die Stetigkeitskorrektur berücksichtigt???    

> b) Runde ich nach außen [11; 29]  dann würde hier der
> Verwerfungsbereich kleiner sein?!  nämlich V = {0,1....,
> 10}  [mm]\cup[/mm]  {30,..., 100},
>  aber das Signifikanzniveau in jedem Fall eingehalten
> werden.

Danke & Gruß



Bezug
                        
Bezug
Zweiseitiger Hypothesentest: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:20 So 01.03.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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