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Zweistufiges Experiment: Aufgabe mit Lösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:00 Mo 30.07.2012
Autor: hilado

Aufgabe
Es wird ein zweistufiges Experiment durchgeführt. In der ersten Stufe wird ein Würfel einmal geworfen. Ist das Ergebnis k, so wird in der zweiten Stufe k-mal gewürfelt und jeweils das Ergebnis festgestellt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Summe der Würfe in der zweiten Stufe höchstens 6?

Also, ich fang mal mit meinem Lösungsvorschlag an. Dazu habe ich mir gedacht, man kann ja das mit Zahlenpartitionen versuchen und ich versuchs mal hier mit geordneten Zahlpartitionen. Die Definition hierfür:
----
Für alle k, n [mm] \in \IN [/mm]  mit n >= k gilt: Die Anzahl der geordneten k-Partitionen von n ist
[mm] { n-1 \choose k-1} [/mm]
----

So, ich hab mir folgendes gedacht. Die Wahrscheinlichkeit, im ersten Wurf eine Zahl zu werfen, liegt ja überall bei 1/6. D.h. ich schau mir dass später nochmal an.

Zunächst schau ich mir mal an, wie die Wahrscheinlichkeit ist, dass die Summe hinterher höchstens Sechs ist.
Wenn im 1. Wurf eine 1 geworfen wird, haben wir folgende Möglichkeiten: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Bei einer 2 haben wir schon mehrere Möglichkeiten: 1+5, 5+1,1+4,4+1, ...

Doch einzeln zu rechnen lohnt sich nicht ...

Dazu nutze ich die Definitionen von den Zahlpartitionen.
Wenn im 1. Wurf eine eins geworfen wird, habe ich so viele Möglichkeiten:
[mm] { 0 \choose 0 } + { 1 \choose 0 } + { 2 \choose 0 } + { 3 \choose 0 } + { 4 \choose 0 } + { 5 \choose 0 } = A_1 [/mm]

Wenn im 1. Wurf eine zwei geworfen wird, habe ich so viele Möglichkeiten:
[mm] { 1 \choose 1 } + { 2 \choose 1 } + { 3 \choose 1 } + { 4 \choose 1 } + { 5 \choose 1 } = A_2 [/mm]

Bei einer drei:
[mm] { 2 \choose 2 } + { 3 \choose 2 } + { 4 \choose 2 } + { 5 \choose 2 } = A_3 [/mm]

usw.

Die Gesamtzahl aller möglichen Augensummen ist so:
[mm] X = \summe_{n=1}^{36} \summe_{k=1}^{n-1} {n-1 \choose k-1} [/mm]

Um die Wahrscheinlichkeit auszurechnen, wann die Augensumme höchstens sechs ist, berechnet man dann das nach der Formel:

Ergebnis = [mm] \bruch{1}{6}*(\summe_{k=1}^{6}\bruch{A_k}{X}) [/mm]


Ist meine Lösung richtig? Oder gibt es sogar einen einfacheren Weg?

        
Bezug
Zweistufiges Experiment: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:33 Di 31.07.2012
Autor: luis52

Moin,


die Zahl $X_$ im Nenner kann ich nicht nachvollziehen. Ich habe sie mal ausgerechnet: $X=68719476700_$. Sie erscheint mir ungebuehrlich gross.

Ich habe folgende Loesung anzubieten: Sei $Y_$ die Augenzahl im ersten
Versuch, $X_$ die im zweiten. Dann ist


[mm] \begin{matrix} P(X\le6)&=&\sum_yP(X\le6,Y=y) \\ &=&\sum_yP(X\le6\mid Y=y)P(Y=y) \\ &=&\frac{1}{6}\sum_yP(X\le 6\mid Y=y) \\ &=&\frac{1}{6}\sum_y\frac{A_y}{6^y} \end{matrix} [/mm]

Auf diese Weise erhalte *ich* [mm] $P(X\le [/mm] 6)=0.3043$.

vg Luis
          

Bezug
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