Zweite Ableitung < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:51 Mi 25.04.2007 | | Autor: | Mone25 |
| Aufgabe | [mm] f'(x)=-8ax/(ax^2+1)^2
[/mm]
[mm] f''(x)=-24a^2*x^2/(ax^2+1)^7 [/mm] |
Hallo,
leider habe ich Probleme mit den Ableitungen bei gebrochen-rationalen Funktionen. Kann mir bitte jemand helfen? Kann mir jemand Tipps geben, wie ich schrittweise vorgehen muss bzw. was man unbedingt beachten sollte?
MfG
Simone
|
|
| |
|
Hallo,
bei Quotienten muss man nach der Quotientenregel ableiten:
[mm] f(x)=\bruch{u}{v}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{u'v-uv'}{v^2}
[/mm]
Jetzt machen wir das mal an Hand deines Beispieles
[mm] f'(x)=\bruch{-8x}{(ax^2+1)^2} [/mm] -8x ist unser u und [mm] (ax^2+1)^2 [/mm] unser v
jetzt zuerst abgeleiteten Zähler * unabgeleiteten Nenner - unabgeleiteten Zähler * abgeleiteten Nenner
das ganze geteilt durch [mm] Nenner^2
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{-8*(ax^2+1)^2-8x*(ax^2+1)*2ax}{(ax^2+1)^4} [/mm] jetzt nur noch zusammenfassen..
[mm] \gdw f''(x)=\bruch{(ax^2+1)*(-8*(ax^2+1)-16ax^2)}{(ax^2+1)^4}
[/mm]
[mm] \gdw f''(x)=\bruch{-8*(ax^2+1)-16ax^2}{(ax^2+1)^3}
[/mm]
[mm] \gdw f''(x)=\bruch{-24ax^2-8}{(ax^2+1)^3}
[/mm]
Die 2. Aufgabe funktioniert analog!
Es kann halt nur sein, dass Zähler oder Nenner zB. Produkte sind, da musst du halt zusätzlich die Produktanregel anwenden... oder bei verketteten die Kettenregel.
Liebe Grüße
Andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:27 Mi 25.04.2007 | | Autor: | Mone25 |
Hallo Andreas,
danke für die schnelle Antwort.
Meine Frage: kann es sein, dass du für v das quadrieren der Klammer vergessen hast? Ich habe für u=-8ax; u'=-8a; [mm] v=(ax^2+1)^2; v'=2(ax^2+1)2ax
[/mm]
???
|
|
|
| |
|
Oh.. du hast Recht hab es irgendwie übersehen.
Ich revidier mal meine erste Antwort..
Danke für den Hinweis.
Liebe Grüße
Andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Mi 25.04.2007 | | Autor: | Mone25 |
Hi Andreas,
also die zweite Ableitung hat mein Nachhilfelehrer so gemacht und deshalb müsste die eigentlich stimmen - komisch. Bist du dir denn 100%ig sicher?
LG, Mone
|
|
|
| |
|
Hallo mone,
musicandi hat einen Faktor a vergessen, einen Faktor 2, und einen Vorzeichenfehler, dein Nachhilfelehrer hat im Zähler einen Term vergessen, im Nenner stimmt der Exponent nicht, machen wir uns ran:
[mm] f'(x)=\bruch{-8ax}{(ax^{2}+1)^{2}}
[/mm]
u=-8ax
u'=-8a
[mm] v=(ax^{2}+1)^{2}
[/mm]
[mm] v'=2(ax^{2}+1)*2ax=4ax(ax^{2}+1) [/mm] der Term 2ax entsteht durch die innere Ableitung
die Quotientenregel kennst du
[mm] f''(x)=\bruch{-8a*(ax^{2}+1)^{2}-(-8ax)*4ax(ax^{2}+1)}{(ax^{2}+1)^{4}}
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{-8a*(ax^{2}+1)^{2}+32a^{2}x^{2}(ax^{2}+1)}{(ax^{2}+1)^{4}} [/mm] du kürzt [mm] (ax^{2}+1)
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{-8a*(ax^{2}+1)+32a^{2}x^{2}}{(ax^{2}+1)^{3}}
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{-8a^{2}x^{2}-8a+32a^{2}x^{2}}{(ax^{2}+1)^{3}}
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{24a^{2}x^{2}-8a}{(ax^{2}+1)^{3}}
[/mm]
jetzt sollte es stimmen
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 Mi 25.04.2007 | | Autor: | Mone25 |
| Aufgabe | | [mm] f'''(x)=-24a^2*x^2/(ax^2+1)^7 [/mm] |
Hallo Steffi,
danke für deine Hilfe
Kannst du mir vielleicht noch bei meiner 3. Ableitung helfen?
Falls das (wieder) nicht stimmt, kannst du mir Tipps geben, was ich beachten muss, etc.
Ich wäre dir echt dankbar dafür!!!
Lg, Mone
|
|
|
| |
|
Hallo,
hast du die 2. Ableitung verstanden, sonst hat es fast keinen Sinn die 3. Ableitung zu rechnen, wenn ja, bilde:
u=
u'=
v=
v'=
denke bei der Ableitung von v an die innere Ableitung, poste uns mal deine Ableitung, dann kriegen wir auch die Quotientenregel hin,
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 Do 26.04.2007 | | Autor: | Mone25 |
Hallo Steffi,
die 2. Ableitung habe ich jetzt verstanden. Dass mit der Quotientenregel ist mir auch klar, nur leider mache ich immer Fehler bei evtl. ausklammern und kürzen. Kannst du mir da noch helfen? Ich kann dir gerne (falls die 3. Abl. falsch sein sollte) den ganzen Rechengang mal schreiben, um den Fehler zu finden. Aber jetzt erstmal dein Vorschlag:
also [mm] u=24a^2*x^2-8a; u'=48a^2*x
[/mm]
[mm] v=(ax^2+1)^3; v'=3(ax^2+1)^2*2ax
[/mm]
richtig?
|
|
|
| |
|
Hallo Mone!
Das stimmt soweit! Nun in die Formel der  Quotientenregel einsetzen ...
Dabei aber nicht sofort die Klammern ausmultiplizieren, sondern erst kürzen.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:55 Do 26.04.2007 | | Autor: | Mone25 |
Hallo,
ich habe als Ergebnis [mm] f'''(x)=-24a^2*x^2/(ax^2+1)^7
[/mm]
aber das stimmt wahrscheinlich wieder nicht, weil ich das mit dem ausklammern und kürzen nicht richtig kann...:-(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:02 Do 26.04.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Mone!
Dann setze doch erstmal in die Formel ein und poste dies hier ...
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 Do 26.04.2007 | | Autor: | Mone25 |
| Aufgabe | | [mm] f'''(x)=48a^2*x(ax^2+1)^3-24a^2*x^2-8a*3(ax^2+1)^2*2ax/(ax^2+1)^9 [/mm] |
ok, dann setz ich mal ein...
|
|
|
| |
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Mone!
Zum einen entsteht im Nenner lediglich $(...)^{\red{6}}$ da ja gilt: $\left(a^3\right)^2 \ = \ a^{3*2} \ = \ a^6}$
Zum anderen musst Du auch Klammern setzen im Zähler:
$f_a'''(x) \ = \ \bruch{48a^2*x*\left(a*x^2+1\right)^3-\red{\left(}24a^2*x^2-8a\red{\right)}*3*\left(a*x^2+1\right)^2*2a*x}{\left(a*x^2+1\right)^6}$
Nun kann man hier $\left(a*x^2+1\right)^2$ ausklammern und kürzen.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Do 26.04.2007 | | Autor: | Mone25 |
das seh ich leider nicht...welche Rechenregeln muss ich da anwenden? Ich weiß, das sollte man wahrscheinlich schon in der Unterstufe können, aber ich mache einen Fernkurs, und habe wohl einige Lücken ...:-( Kannst du mir bitte helfen?*verzweifelt* Ich freu mich auch über hilfreiche Links, wo ich sowas nachlesen kann...
|
|
|
| |
|
Hallo,
die Produktenregel lautet ja u'*v-u*v'
der besagte Faktor, den du nicht in die Klammer geschrieben hast ist ja u, merke dir, taucht in einem Faktor ein + oder - auf, immer Klammer drum, machen wir ein Beispiel:
a=3x+5
b=17
a*b=(3x+5)*17=51x+85
schreibst du die Klammern nicht, würde da stehen: 3x+5*17=3x+85, weil Punktrechnung vor Strichrechnung, jetzt klar(er)?
Steffi
|
|
|
| |
|
Hallo Mone!
hier mal der 1. Schritt zum ausklammern. Denn im Zähler kommt in beiden Summentermen der Faktor [mm] $\left(a\cdot{}x^2+1\right)^2$ [/mm] vor:
$ [mm] f_a'''(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{48a^2\cdot{}x\cdot{}\left(a\cdot{}x^2+1\right)^3-\left(24a^2\cdot{}x^2-8a\right)\cdot{}3\cdot{}\left(a\cdot{}x^2+1\right)^2\cdot{}2a\cdot{}x}{\left(a\cdot{}x^2+1\right)^6} [/mm] $
$ [mm] f_a'''(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{48a^2\cdot{}x\cdot{}\red{\left(a\cdot{}x^2+1\right)^2}\cdot{}\left(a\cdot{}x^2+1\right)^1-\left(24a^2\cdot{}x^2-8a\right)\cdot{}3\cdot{}\red{\left(a\cdot{}x^2+1\right)^2}\cdot{}2a\cdot{}x}{\red{\left(a\cdot{}x^2+1\right)^2}\cdot{}\left(a\cdot{}x^2+1\right)^4} [/mm] $
$ [mm] f_a'''(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\red{\left(a\cdot{}x^2+1\right)^2}\cdot{}\left[48a^2\cdot{}x\cdot{}\red{1}\cdot{}\left(a\cdot{}x^2+1\right)^1-\left(24a^2\cdot{}x^2-8a\right)\cdot{}3\cdot{}\red{1}\cdot{}2a\cdot{}x\right]}{\red{\left(a\cdot{}x^2+1\right)^2}\cdot{}\left(a\cdot{}x^2+1\right)^4} [/mm] $
Nun kürzen:
$ [mm] f_a'''(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{48a^2\cdot{}x\cdot{}\left(a\cdot{}x^2+1\right)^1-\left(24a^2\cdot{}x^2-8a\right)\cdot{}3\cdot{}2a\cdot{}x}{\left(a\cdot{}x^2+1\right)^4} [/mm] $
Und nun im Zähler zusammenfassen ...
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:08 Fr 27.04.2007 | | Autor: | Mone25 |
Das leuchtet mir ein - danke!
Dann würde ich jetzt folgendermaßen weitermachen:
[mm] f'''(x)=48a^2*x-(24a^2*x^2-8a)*6ax [/mm] / [mm] (ax^2+1)^3 [/mm]
Stimmt das so?
|
|
|
| |
|
Hallo Mone!
Was hast Du denn da gemacht? ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") Noch mehr kürzen geht hier nicht!!
Du musst nunmehr den Zähler [mm] $48a^2\cdot{}x\cdot{}\left(a\cdot{}x^2+1\right)-\left(24a^2\cdot{}x^2-8a\right)\cdot{}3\cdot{}2a\cdot{}x$ [/mm] zusammenfassen, indem du die Klammern ausmultiplizierst und weiter zusammenfasst.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:16 Fr 27.04.2007 | | Autor: | Mone25 |
Ich dachte ich kann die Klammer im Zähler (ax^+1), da sie ein Produkt ist, nochmal mit dem Nenner kürzen?!? Warum nicht?
f'''(x)= [mm] 48a^3x^3+48a^2-144a^3*x^3-48a^2x/(ax^2+1)^4[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:23 Fr 27.04.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo Mone,
> Ich dachte ich kann die Klammer im Zähler [mm] (ax^2+1), [/mm] da sie
> ein Produkt ist, nochmal mit dem Nenner kürzen?!? Warum
> nicht?
das geht nicht, denn schaust du dir den Zähler genau an, dann siehst du dass da noch ein [mm] \red{-} [/mm] steht. Im hinteren Teil dieser DIFFERENZ ist die Klammer [mm] (ax^2+1) [/mm] nicht vorhanden, also nix kürzen.
Liebe Grüße
Herby
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Fr 27.04.2007 | | Autor: | Mone25 |
ok.Danke!
Stimmt das dann?
f'''(x)= [mm] 48a^3x^3+48a^2-144a^3*x^3-48a^2x/(ax^2+1)^4 [/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo Mone!
Zum einen hast Du hier noch ein $x_$ unterschlagen. Und beim Ausmultiplizeren machst Du einen Vorzeichenfehler:
$f'''(x) \ = \ [mm] \bruch{48a^3x^3+48a^2*\red{x}-144a^3x^3 \ \red{+} \ 48a^2x}{(ax^2+1)^4}$
[/mm]
Nun kann man im Zähler noch weiter zusammenfassen ...
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:25 Sa 28.04.2007 | | Autor: | Mone25 |
[mm] -96a^3x^3+96a^2x/(ax^2+1)^4
[/mm]
Stimmt das?
|
|
|
| |
|
Hallo,
Glückwunsch perfekt
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:45 Sa 28.04.2007 | | Autor: | Mone25 |
Danke für eure Geduld!
|
|
|
| |
|
meine Güte...
ich werd immer blinder wenn ich die Aufgabenstellung abschreibe.. es tut mir Leid.
Liebe Grüße
Andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:33 Mi 25.04.2007 | | Autor: | Mone25 |
| Aufgabe | kleine Korrektur:
[mm] f'(x)=-8ax/(ax^2+1)^2
[/mm]
[mm] f''(x)=24a^2-8a/(ax^2+1)^3
[/mm]
[mm] f'''(x)=-24a^2*x^2/(ax^2+1)^7 [/mm] |
Leider habe ich bei meiner Frage vorhin die Ableitung 2 unterschlagen :-( sorry...Ableitung 3 ist mir unklar...die 2. müsste eigentlich stimmen
|
|
|
| |
|
Hallo,
deine 2. Ableitung ist leider auch schon falsch. Siehe meine bereits revidierte Antwort von vorhin. Irgednwo hast du da was mit den a und x falsch gemacht.
Klar, dass dann auch die 3. Ableitung falsch ist. Versuch se nochmal zu rechnen mit der richtigen 2. Ableitung von meiner obigen Antwort.
Wenn du net auf deins kommst frag nochmal nach!
Liebe Grüße
Andreas
|
|
|
| |
|
Hallo,
schaue mal in meinen Post, du hast bei f''(x) im Zähler ein [mm] x^{2} [/mm] unterschlagen, Vorschlag: werde erst bei der 2. Ableitung sicher, mache dann die 3. Ableitung,
Steffi
|
|
|
|
