Zweite Ableitung Polynom < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei R[X] der Vektorraum der reellen Polynome n-ten grades mit der lin. Abb:
D: R[X]->R[X], D(f) = f'',
Berechnen Sie die Eigenwerte und die Eigenräume. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Moinsen,
Ich habe bereits genau diese Frage hier gefunden:
https://matheraum.de/forum/Eigenwerte_der_2.Ableitung/t763928
Ich bin ebenfalls so weit gekommen, dass ich als Basis:
[mm] B=\{{x^0,x^1,...,x^n}\} [/mm] gewählt habe.
Der einzige Eigenwert ist [mm] \lambda=0
[/mm]
Somit ist [mm] E(\lambda) [/mm] = [mm] \{{\vektor{1 \\ 0 \\ 0\\ ... }, \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ ... }}\}
[/mm]
Erste Fragen: Ist nun also der Eigenraum in Polynomschreibweise 1 und x?
[mm] E(\lambda)=\{{1,x}\} [/mm] oder [mm] E(\lambda)=\{{a_{1},a_{2}}\} (a_{i} [/mm] Koeffizienten den Polynoms) ???
Zweite Frage: Schick schick aber wie kann ich das nun interpretieren? Ich meine Eigenwert [mm] \lambda=0 [/mm] klingt irgendwie nach "Naja also deine Matrix macht eigentlich nix außer öh und äh?!"
Dritte Frage: Wie interpretiere ich die Eigenräume? "Irgendwie scheinen also die ersten beiden Summanden meines Polynoms wichtig zu sein?!"
Ich habe das extra mal ein wenig "in Gedanken" formuliert, weil ich mir einfach noch kein Bild machen kann.. Warum macht man so etwas wie Eigenwertprobleme bei solchen Problemstellungen und wo ist das cool und warum bringt es so viel?
Ach und kann man eigentlich etwas zur vielfachheit und geom. vielffachheit sagen wenn n = 2m oder n = 2m+1 mit [mm] m\in\IN [/mm] ist?
Greetz
keksnicoh
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:56 Mo 22.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei R[X] der Vektorraum der reellen Polynome n-ten grades
> mit der lin. Abb:
>
> D: R[X]->R[X], D(f) = f'',
>
> Berechnen Sie die Eigenwerte und die Eigenräume.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
> Moinsen,
>
> Ich habe bereits genau diese Frage hier gefunden:
>
> https://matheraum.de/forum/Eigenwerte_der_2.Ableitung/t763928
>
> Ich bin ebenfalls so weit gekommen, dass ich als Basis:
>
> [mm]B=\{{x^0,x^1,...,x^n}\}[/mm] gewählt habe.
dann stelle ich doch direkt mal die Frage: Bzgl. welcher Koordinatenabbildung
gehst Du im Folgenden vor? Übrigens würde ich auch empfehlen, dass Du
Dich davon überzeugst, dass [mm] $D\,$ [/mm] wirklich linear ist!
> Der einzige Eigenwert ist [mm]\lambda=0[/mm]
>
> Somit ist [mm]E(\lambda)[/mm] = [mm]\{{\vektor{1 \\ 0 \\ 0\\ ... }, \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ ... }}\}[/mm]
Dazu kann ich nur sagen:
https://matheraum.de/read?i=763995#artikelmenu
Bei Dir ist ein Vektor doch ein Polynom, und nicht ein $(n+1)$-Tupel. Deswegen
habe ich Dir auch die vorangegangene Frage gestellt. Du musst hier diese
Tupel "in Polynome zurückübersetzen"!
> Erste Fragen: Ist nun also der Eigenraum in
> Polynomschreibweise 1 und x?
Ja:
[mm] $(0,...,0,1,0,...,0)^T$ [/mm] "identifiziert(!)" einfach das 'Monom' [mm] $x^j\,,$ [/mm] wenn die [mm] $1\,$ [/mm] im $(n+1)$-Tupel links
an der [mm] $j\,$-ten [/mm] Stelle auftaucht!
Damit das vielleicht mal deutlicher wird:
![[]](/images/popup.gif) http://www.youtube.com/watch?v=qVJZoB5EIQ4
und besser zuvor:
http://www.onlinetutorium.com/product_info.php?products_id=462
Klick' Dich ruhig mal ein wenig mehr durch das Tutorium.
Alternativ:
https://matheraum.de/forum/Identitaet_bzgl._Basen/t947729
Aber das ist alles ein wenig "allgemein".
> [mm]E(\lambda)=\{{1,x}\}[/mm] oder [mm]E(\lambda)=\{{a_{1},a_{2}}\} (a_{i}[/mm]
> Koeffizienten den Polynoms) ???
Das Zweite macht doch keinen Sinn: Von welchem speziellen Polynom willst
Du denn die Koeffizienten festhalten? (Und Du hättest dann konstante
Polynome...)
> Zweite Frage: Schick schick aber wie kann ich das nun
> interpretieren? Ich meine Eigenwert [mm]\lambda=0[/mm] klingt
> irgendwie nach "Naja also deine Matrix macht eigentlich nix
> außer öh und äh?!"
Die Matrix, die Du meinst, hat was mit der Abbildung [mm] $D\,$ [/mm] zu tun, wobei Du
diese bzgl. der Koordinatenvektoren einer (festen) Basis des Definitionsbereichs
und einer (festen) Basis des Zielbereichs von [mm] $D\,$ [/mm] aufstellst.
Ansonsten:
Ist [mm] $0\,$ [/mm] ein Eigenwert einer Matrix [mm] $A\,,$ [/mm] so bedeutet das doch, dass bzgl. dieses
Eigenwertes der Eigenraum der Matrix gerade
[mm] $\text{ker}(A)$
[/mm]
ist: Wenn man also aus dem Kern von A den Nullvektor entfernt, so hat man
genau alle Eigenvektoren zum Eigenwert [mm] $\lambda$ [/mm] gegeben.
Beachte doch mal, dass ein Paar [mm] $(\lambda,v)$ [/mm] Eigenpaar von [mm] $A\,$ [/mm] heißt, wenn
[mm] $A*v=\lambda*v \iff A*(v-\lambda*E)=0\,,$
[/mm]
wobei [mm] $E\,$ [/mm] "die Einheitsmatrix mit zu [mm] $A\,$ [/mm] passender 'Form'" ist.
> Dritte Frage: Wie interpretiere ich die Eigenräume?
> "Irgendwie scheinen also die ersten beiden Summanden meines
> Polynoms wichtig zu sein?!"
??
> Ich habe das extra mal ein wenig "in Gedanken" formuliert,
> weil ich mir einfach noch kein Bild machen kann.. Warum
> macht man so etwas wie Eigenwertprobleme bei solchen
> Problemstellungen und wo ist das cool und warum bringt es
> so viel?
Generell lies' Dir auch mal
das hier (klick!)
durch; da stehen einige Aspekte, warum Eigenwertberechnungen etc. pp.
interessant sein können!
P.S. Der Sinn des Benutzens einer Koordinatenabbildung ist eigentlich,
dass man das Ganze "einfacher" (gewohnter) rechnen kann. Du könntest
aber auch das alles stur per Definitionem durchrechnen - das würde vllt.
dann sinnvoll(er) sein, wenn Ihr Euch bisher noch gar nicht mit
Koordinatenabbildungen auskennt/beschäftigt habt.
Gruß,
Marcel
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