Zweite Abltg. eines Integrals < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:47 Do 02.04.2009 | | Autor: | grenife |
| Aufgabe | Seien [mm] $f(x)=\int_{-\infty}^{x^2/2}e^{x-t^2/2}dt$ [/mm] und [mm] $g(x)=\int_{x^2/2}^{\infty}e^{-(x^2+1)t^2}dt$.
[/mm]
Bestimmen Sie $f''(x)$ und $g''(x). |
Hallo zusammen,
stehe bei dieser Aufgabe etwas auf dem Schlauch. Ich vermute mal, dass man zunächst beide uneigentlichen Integrale ausrechnen muss und dann zweimal ableitet.
Im ersten Fall wäre das also
[mm] $\int_{-\infty}^{x^2/2}e^{x-t^2/2}dt=\lim_{\alpha\to -\infty,\infty<\alpha
Dann würde ich doch versuchen, das Integral aufzulösen und den Grenzwert bestimmen.
Oder liege ich da komplett falsch?
Vielen Dank und viele Grüße
Gregor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:14 Do 02.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja, zum Glueck must du die Integrale nicht berechnen.
Wenn der Integrand nicht von x abhaengt, einfach nach der von x abhaengenden Grenze ableiten, da er von x abh. kommt dazu die Kettenregel.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 Do 02.04.2009 | | Autor: | grenife |
Hallo leduart,
aber in beiden Fällen hängt ja der Integrand von $x$ ab, also müsste ich doch die Integrale ausrechnen. Oder habe ich Dich da falsch verstanden?
Viele Grüße
Gregor
> Hallo
>
> Ja, zum Glueck must du die Integrale nicht berechnen.
> Wenn der Integrand nicht von x abhaengt, einfach nach der
> von x abhaengenden Grenze ableiten, da er von x abh. kommt
> dazu die Kettenregel.
> Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:35 Do 02.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein, musst du nicht, verwende die Kettenregel, aeussere fkt Integral.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:43 Do 02.04.2009 | | Autor: | fred97 |
beispiel:
[mm] \int_{-\infty}^{x^2/2}e^{x-t^2/2}dt [/mm] = [mm] e^x \int_{-\infty}^{x^2/2}e^{-t^2/2}dt
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:25 Fr 03.04.2009 | | Autor: | grenife |
Hallo Fred,
vielen Dank für den Hinweis, das Ausklammern ist klar. Nur welche Sätze stecken denn hinter dem Hinweis von leduart, dass man in diesem Fall nach den Grenzen des Integrals ableiten kann? Habe ehrlich gesagt so etwas noch nie gesehen...
Habe mal versucht, das Integral durch Substitution [mm] $z=-t^2/2$ [/mm] aufzulösen, aber dadurch erhalte ich nur [mm] $\int e^z\frac{1}{-t}dz$ [/mm] und die alte Variable $t$ verschwindet nicht. Partielle Integration scheint mir auch nicht sehr vielversprechend zu sein, da ich kein Produkt habe...
Viele Grüße
Gregor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:41 Fr 03.04.2009 | | Autor: | fred97 |
1. [mm] $\int_{}^{}e^{-t^2/2}dt [/mm] $ kannst Du nicht elementar berechnen ! Mußt Du bei Deiner Aufgabe auch nicht !
2.Nimm mal an, [mm] $g:\IR \to \IR$ [/mm] sei stetig und für jedes x [mm] \in \IR [/mm] sei
$ [mm] \int_{-\infty}^{x}g(t)dt [/mm] $
konvergent. Dann hast Du mit
$h(x) = [mm] \int_{-\infty}^{x}g(t)dt [/mm] $
eine neue Funktion auf [mm] \IR [/mm] def. Mit einem festen (aber bel. ) a [mm] \in \IR [/mm] haben wir:
$h(x) = [mm] \int_{-\infty}^{a}g(t)dt [/mm] + [mm] \int_{a}^{x}g(t)dt [/mm] $
der 1. Summand rechts hängt nicht von x ab, ist also konstant. Der 2. Summand ist nach dem Hauptsatz der Differential - und Integralrechnung eine differenzierbare Funktion mit der Ableitung $g(x)$.
Fazit: $h$ ist auf [mm] \IR [/mm] differenzierbar und
$h'(x) = g(x)$ auf [mm] \IR
[/mm]
Hast du z.B. folgende Fkt. gegeben:
$f(x) = [mm] \int_{-\infty}^{x^3}g(t)dt [/mm] $ ,
so gilt : $f(x) = [mm] h(x^3)$. [/mm] Damit ist auch f differenzierbar und mit der Kettenregel erhälst Du:
f'(x) = h'(x) [mm] 3x^2 [/mm] = 3x^2g(x)
Edit: Da habe ich mich verschrieben ! Es muß lauten:
$f'(x) = [mm] h'(x^3) 3x^2 [/mm] = [mm] 3x^2g(x^3) [/mm] $
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:40 Fr 03.04.2009 | | Autor: | grenife |
Hallo Fred,
vielen Dank! Alles klar nun, der Kniff mit dem Aufspalten des Integrals ist mir nicht eingefallen.
zu $f(x)$:
[mm] $f(x)=\int_{-\infty}^{x^2/2}e^{x-t^2/2}dt=e^x\int_{-\infty}^{x^2/2}e^{t^2/2}dt$
[/mm]
Ich spalte dann mit [mm] $a\in\mathbb{R}$ [/mm] das Integral auf und erhalte:
[mm] $...=e^x\left(\int_{-\infty}^{a}e^{t^2/2}dt+\int_{a}^{x^2/2}e^{t^2/2}dt\right)$
[/mm]
Im Folgenden betrachte ich nur die Ableitung des Klammerausdruckes:
[mm] $e^{t^2/2}$ [/mm] ist stetig auf ganz [mm] $\mathbb{R}$, [/mm] dann liefert der Hauptsatz der Analysis
[mm] $\frac{d}{dx}\left(\int_{-\infty}^{a}e^{t^2/2}dt+\int_{a}^{x}e^{t^2/2}dt\right)=e^{x^2/2}$
[/mm]
Da [mm] $x^2/2$ [/mm] als Polynom ebenfalls diff.-bar ist, folgt mit der Kettenregel
[mm] $\frac{d}{dx}\left(\int_{-\infty}^{a}e^{t^2/2}dt+\int_{a}^{x^2/2}e^{t^2/2}dt\right)=e^{x^2/2}\cdot [/mm] x$.
Die Produktregel liefert schließlich
[mm] $f'(x)=e^x\cdot e^{x^2/2}\cdot [/mm] x + [mm] e^x \cdot \left(\int_{-\infty}^{a}e^{t^2/2}dt+\int_{a}^{x^2/2}e^{t^2/2}dt\right)$
[/mm]
Ist das soweit richtig? (das Integral in der Lösung stört mich noch etwas, aber ich sehe nicht, wie man das vermeiden kann)
Vielen Dank und viele Grüße
Gregor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:03 Fr 03.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> vielen Dank! Alles klar nun, der Kniff mit dem Aufspalten
> des Integrals ist mir nicht eingefallen.
>
> zu [mm]f(x)[/mm]:
>
> [mm]f(x)=\int_{-\infty}^{x^2/2}e^{x-t^2/2}dt=e^x\int_{-\infty}^{x^2/2}e^{t^2/2}dt[/mm]
> Ich spalte dann mit [mm]a\in\mathbb{R}[/mm] das Integral auf und
> erhalte:
>
> [mm]...=e^x\left(\int_{-\infty}^{a}e^{t^2/2}dt+\int_{a}^{x^2/2}e^{t^2/2}dt\right)[/mm]
>
> Im Folgenden betrachte ich nur die Ableitung des
> Klammerausdruckes:
> [mm]e^{t^2/2}[/mm] ist stetig auf ganz [mm]\mathbb{R}[/mm], dann liefert der
> Hauptsatz der Analysis
>
> [mm]\frac{d}{dx}\left(\int_{-\infty}^{a}e^{t^2/2}dt+\int_{a}^{x}e^{t^2/2}dt\right)=e^{x^2/2}[/mm]
O.K.
> Da [mm]x^2/2[/mm] als Polynom ebenfalls diff.-bar ist, folgt mit
> der Kettenregel
>
> [mm]\frac{d}{dx}\left(\int_{-\infty}^{a}e^{t^2/2}dt+\int_{a}^{x^2/2}e^{t^2/2}dt\right)=e^{x^2/2}\cdot x[/mm].
Das stimmt nicht.Es kommt heraus:
= [mm] e^{x^4/8}x
[/mm]
Lies nochmal meine Antwort von oben. Da habe ich mich am Ende verschrieben (Du hast es nicht gemerkt). Mittlerweile habe ich es verbessert
>
> Die Produktregel liefert schließlich
>
> [mm]f'(x)=e^x\cdot e^{x^2/2}\cdot x + e^x \cdot \left(\int_{-\infty}^{a}e^{t^2/2}dt+\int_{a}^{x^2/2}e^{t^2/2}dt\right)[/mm]
>
> Ist das soweit richtig?
So ist es richtig:
$ [mm] f'(x)=e^x\cdot e^{x^4/8}\cdot [/mm] x + [mm] e^x \cdot \left(\int_{-\infty}^{a}e^{t^2/2}dt+\int_{a}^{x^2/2}e^{t^2/2}dt\right)$ [/mm]
> (das Integral in der Lösung stört
> mich noch etwas, aber ich sehe nicht, wie man das vermeiden
> kann)
Das kannst Du nicht vermeiden
FRED
>
> Vielen Dank und viele Grüße
> Gregor
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 Fr 03.04.2009 | | Autor: | grenife |
Hi,
hab mich an der zweiten Ableitung versucht, die recht monströs wird:
Mit
[mm] $f'(x)=e^x\cdot e^{x^4/8}\cdot [/mm] x + [mm] e^x \cdot \left(\int_{-\infty}^{x^2/2}e^{t^2/2}dt\right)$
[/mm]
folgt nun über die Produkt- und Kettenregel
[mm] $f''(x)=e^x\cdot e^{x^4/8}\cdot x+e^x\left(e^{x^4/8}+x\cdot e^{x^4/8}\cdot \frac{x^3}{2}\right)+\left[e^x \cdot \left(\int_{-\infty}^{x^2/2}e^{t^2/2}dt+\right)\right]'$
[/mm]
Die Produktregel sowie die Vorgehensweise für die erste Ableitung des Integrals liefert dann
[mm] $f''(x)=e^x\cdot e^{x^4/8}\cdot x+e^x\left(e^{x^4/8}+x\cdot e^{x^4/8}\cdot \frac{x^3}{2}\right)+ \left[e^x \cdot \left(\int_{-\infty}^{x^2/2}e^{t^2/2}dt\right)\right]+e^x\cdot\left(e^xe^{x^4/8}x+e^x\cdot\left(\int_{-\infty}^{x^2/2}e^{t^2/2}dt\right)\right)$
[/mm]
Ich hoffe mal, dass ich mich nicht mehr verrechnet habe.
Viele Grüße
Gregor
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Hallo grenife,
> Hi,
>
> hab mich an der zweiten Ableitung versucht, die recht
> monströs wird:
> Mit
> [mm]f'(x)=e^x\cdot e^{x^4/8}\cdot x + e^x \cdot \left(\int_{-\infty}^{x^2/2}e^{t^2/2}dt\right)[/mm]
Korrekt muß die erste Ableitung so lauten:
[mm]f'(x)=e^x\cdot e^{\red{-}x^4/8}\cdot x + e^x \cdot \left(\int_{-\infty}^{x^2/2}e^{\red{-}t^2/2}dt\right)[/mm]
>
> folgt nun über die Produkt- und Kettenregel
>
> [mm]f''(x)=e^x\cdot e^{x^4/8}\cdot x+e^x\left(e^{x^4/8}+x\cdot e^{x^4/8}\cdot \frac{x^3}{2}\right)+\left[e^x \cdot \left(\int_{-\infty}^{x^2/2}e^{t^2/2}dt+\right)\right]'[/mm]
>
> Die Produktregel sowie die Vorgehensweise für die erste
> Ableitung des Integrals liefert dann
> [mm]f''(x)=e^x\cdot e^{x^4/8}\cdot x+e^x\left(e^{x^4/8}+x\cdot e^{x^4/8}\cdot \frac{x^3}{2}\right)+ \left[e^x \cdot \left(\int_{-\infty}^{x^2/2}e^{t^2/2}dt\right)\right]+e^x\cdot\left(e^xe^{x^4/8}x+e^x\cdot\left(\int_{-\infty}^{x^2/2}e^{t^2/2}dt\right)\right)[/mm]
[mm]f''(x)=e^x\cdot e^{\red{-}x^4/8}\cdot x+e^x\left(e^{\red{-}x^4/8}+x\cdot e^{\red{-}x^4/8}\cdot \frac{\red{-}x^3}{2}\right)[/mm]
[mm]+ \left[e^x \cdot \left(\int_{-\infty}^{x^2/2}e^{\red{-}t^2/2}dt\right)\right]+\blue{e^x}\cdot\left(e^x e^{\red{-}x^4/8}x+\blue{e^x\cdot\left(\int_{-\infty}^{x^2/2}e^{t^2/2}dt\right)}\right)[/mm]
Die rot markierten Fehler sind Vorzeichenfehler.
Woher kommen die blau markierten Ausdrücke ?
>
> Ich hoffe mal, dass ich mich nicht mehr verrechnet habe.
>
> Viele Grüße
> Gregor
>
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:21 Fr 03.04.2009 | | Autor: | grenife |
Hallo mathepower,
hab mich vertan, ich hatte das Integral mal [mm] $e^x$ [/mm] abgeleitet, richtig müsste es
[mm]f''(x)=e^x\cdot e^{\red{-}x^4/8}\cdot x+e^x\left(e^{\red{-}x^4/8}+x\cdot e^{\red{-}x^4/8}\cdot \frac{\red{-}x^3}{2}\right)[/mm]
[mm]+ \left[e^x \cdot \left(\int_{-\infty}^{x^2/2}e^{\red{-}t^2/2}dt\right)\right]+\blue{e^x}\cdot\left(e^{\red{-}x^4/8}x\right)[/mm]
Das letzte blaue [mm] $e^x$ [/mm] resultiert aus der Produktregel angewendet auf den zweiten Summanden von $f'(x)$. Somit habe ich dort [mm] $(e^x)'$ [/mm] mal Integral plus [mm] $e^x$ [/mm] mal abgeleitetes Integral stehen, wobei die Ableitung des Integrals mit den Vorüberlegungen ja [mm] $e^{\red{-}x^4/8}x$ [/mm] war.
Jetzt müsste aber alles stimmen, oder habe ich wieder etwas übersehen?
Viele Grüße
Gregor
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Hallo grenife,
> Hallo mathepower,
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> hab mich vertan, ich hatte das Integral mal [mm]e^x[/mm] abgeleitet,
> richtig müsste es
>
> [mm]f''(x)=e^x\cdot e^{\red{-}x^4/8}\cdot x+e^x\left(e^{\red{-}x^4/8}+x\cdot e^{\red{-}x^4/8}\cdot \frac{\red{-}x^3}{2}\right)[/mm]
>
> [mm]+ \left[e^x \cdot \left(\int_{-\infty}^{x^2/2}e^{\red{-}t^2/2}dt\right)\right]+\blue{e^x}\cdot\left(e^{\red{-}x^4/8}x\right)[/mm]
>
> Das letzte blaue [mm]e^x[/mm] resultiert aus der Produktregel
> angewendet auf den zweiten Summanden von [mm]f'(x)[/mm]. Somit habe
> ich dort [mm](e^x)'[/mm] mal Integral plus [mm]e^x[/mm] mal abgeleitetes
> Integral stehen, wobei die Ableitung des Integrals mit den
> Vorüberlegungen ja [mm]e^{\red{-}x^4/8}x[/mm] war.
>
> Jetzt müsste aber alles stimmen, oder habe ich wieder etwas
> übersehen?
Ja, jetzt stimmt's.
>
> Viele Grüße
> Gregor
Gruß
MathePower
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