matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenAlgebraZwischenkörper Galoiserw.
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Algebra" - Zwischenkörper Galoiserw.
Zwischenkörper Galoiserw. < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Zwischenkörper Galoiserw.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:47 Di 22.07.2008
Autor: Fry

Aufgabe
Sei L/K endliche Galoiserweiterung und [mm] H\subset [/mm] Gal(L/K) eine UG.
Sei [mm] a\in [/mm] L. Es gelte für [mm] \sigma \in [/mm] Gal(L/K), dass [mm] \sigma(a)=a [/mm] äquivalent zu [mm] \sigma\in [/mm] H. Man zeige [mm] L^{H}=K(a) [/mm]

Hallo :),

sitze gerade an der Aufgabe und komme nicht weiter.
Also die Aussage macht an sich Sinn, wenn man sich die Definition von Fixkörpern anschaut. Aber ich weiß nicht, wie man das richtig beweist.
Aus [mm] \sigma(a)=a [/mm] für alle [mm] \sigma \in [/mm] H folgt [mm] K(a)\subseteq L^{H}. [/mm] Und andersrum?
Steh auf dem Schlauf. Wäre super, wenn ihr mir weiterhelfen könntet.
Danke !

VG
Fry

        
Bezug
Zwischenkörper Galoiserw.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:32 Di 22.07.2008
Autor: felixf

Hallo Fry

> Sei L/K endliche Galoiserweiterung und [mm]H\subset[/mm] Gal(L/K)
> eine UG.
>  Sei [mm]a\in[/mm] L. Es gelte für [mm]\sigma \in[/mm] Gal(L/K), dass
> [mm]\sigma(a)=a[/mm] äquivalent zu [mm]\sigma\in[/mm] H. Man zeige
> [mm]L^{H}=K(a)[/mm]
>  
> sitze gerade an der Aufgabe und komme nicht weiter.
>  Also die Aussage macht an sich Sinn, wenn man sich die
> Definition von Fixkörpern anschaut. Aber ich weiß nicht,
> wie man das richtig beweist.
>  Aus [mm]\sigma(a)=a[/mm] für alle [mm]\sigma \in[/mm] H folgt [mm]K(a)\subseteq L^{H}.[/mm]
> Und andersrum?

Mach's doch so: da $K(a)$ ein Zwischenkoerper ist gibt's eine Unterguppe $H'$ von $Gal(L/K)$ mit $K(a) = [mm] L^{H'}$. [/mm] Ziel ist jetzt $H = H'$ zu zeigen.

Wegen der Galois-Korrespondenz gilt jetzt $H' = [mm] \{ \varphi \in Gal(L/K) \mid \varphi|_{K(a)} = id_{K(a)} \}$. [/mm]

Kommst du weiter?

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Zwischenkörper Galoiserw.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:32 Mi 23.07.2008
Autor: Fry

Hi Felix,

danke für deine schnelle Antwort,
denke schon, das es mich weitergebracht hat, weiß nur nicht, ob das so stimmt. Als meine Argumentation lautet:
[mm] \sigma(a)=a [/mm] für alle [mm] \sigma\in [/mm] H
[mm] \Rightarrow \sigma|_{K(a)}=id_{K(a)} [/mm] für alle [mm] \sigma\in [/mm] H
[mm] \Rightarrow [/mm] H=Gal(L/K(a))
[mm] \Rightarrow L^{H}=K(a), [/mm] da L/K(a) galoissch (weil K(a) Zwischenkörper von L)

Stimmt das so ?
VG
Fry

Bezug
                        
Bezug
Zwischenkörper Galoiserw.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:15 Mi 23.07.2008
Autor: felixf

Hallo Fry

> danke für deine schnelle Antwort,
>  denke schon, das es mich weitergebracht hat, weiß nur
> nicht, ob das so stimmt. Als meine Argumentation lautet:
>  [mm]\sigma(a)=a[/mm] für alle [mm]\sigma\in[/mm] H
>  [mm]\Rightarrow \sigma|_{K(a)}=id_{K(a)}[/mm] für alle [mm]\sigma\in[/mm] H
>  [mm]\Rightarrow[/mm] H=Gal(L/K(a))

Bis hierhin hast du nur $H [mm] \subseteq [/mm] Gal(L/K(a))$. Fuer die andere Inklusion betachte

[mm] $\sigma(a) \neq [/mm] a$ fuer alle [mm] $\sigma \in [/mm] Gal(L/K) [mm] \setminus [/mm] H$
[mm] $\Rightarrow \sigma|_{K(a)} \neq id_{K(a)}$ [/mm] fuer alle [mm] $\sigma \in [/mm] Gal(L/K) [mm] \setminus [/mm] H$
[mm] $\Rightarrow [/mm] Gal(L/K(a)) [mm] \subseteq [/mm] H$.

>  [mm]\Rightarrow L^{H}=K(a),[/mm] da L/K(a) galoissch (weil K(a)
> Zwischenkörper von L)

Der Rest stimmt dann.

LG Felix


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]