Zwischenkp, 12.Kreisteilungskp < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:45 Mo 24.01.2011 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | | [mm] $\zeta$ [/mm] sei primitive 12. Einheitswurzel über [mm] $\IQ$. [/mm] Bestimme alle Zwischenkörper von [mm] $\IQ(\zeta)/\IQ$ [/mm] |
Hallo,
ich schaffe es nicht, die Zwischenkörper explizit anzugeben. Gibt es da ein Verfahren?
So weit bin ich:
Es ist [mm] $\varphi(12) [/mm] = 4$ mit der Eulerschen [mm] $\varphi$-Funktion. [/mm] Damit ist [mm] $Gal(\IQ(\zeta)/\IQ \cong (\IZ/12\IZ)^{\times} [/mm] = [mm] \{1,5,7,11\}$
[/mm]
Die echten Untergruppen [mm] von$(\IZ/12\IZ)^{\times}$ [/mm] sind [mm] $U_1:=\{1,5\}, U_2=\{1,7\}, U_3=\{1,11\}$ [/mm] und daneben die zwei trivialen Untergruppen, die natürlich [mm] $\IQ$ [/mm] und [mm] $\IQ(\zeta)$ [/mm] entsprechen.
Nun habe ich versucht die Fixkörper der Untergruppen zu bestimmen, indem ich ausprobiert habe. Meine Vermutung ist:
[mm] $\IQ(\zeta)^{U_1} [/mm] = [mm] \IQ(\zeta+\zeta^5)$, [/mm] da [mm] $\zeta+\zeta^5$ [/mm] invariant ist unter [mm] $U_1\:$
[/mm]
[mm] $\IQ(\zeta)^{U_3} [/mm] = [mm] \IQ(\zeta+\zeta^{11})$, [/mm] da [mm] $\zeta+\zeta^{11}$.
[/mm]
Zu [mm] $U_2\:$ [/mm] habe ich gar keine Idee.
Kann mir hier jemand weiter helfen? Danke!
LG Lippel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:26 Mo 24.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> [mm]\zeta[/mm] sei primitive 12. Einheitswurzel über [mm]\IQ[/mm]. Bestimme
> alle Zwischenkörper von [mm]\IQ(\zeta)/\IQ[/mm]
>
> ich schaffe es nicht, die Zwischenkörper explizit
> anzugeben. Gibt es da ein Verfahren?
Klar doch 
Wenn du eine Untergruppe $U$ von $Gal(L/K)$ hast, nimmst du dir ein Erzeugendensystem [mm] $\sigma_1, \dots, \sigma_n$ [/mm] (hier reicht ja $n = 1$) der Untergruppe $U$ und eine $K$-Basis von $L$, [mm] $v_1, \dots, v_k$, [/mm] und schaust dir die Matrixrepraesentation von den $K$-linearen Homomorphismen [mm] $\varphi_i [/mm] : L [mm] \to [/mm] L$, $x [mm] \mapsto \sigma_i(x) [/mm] - x$ bzgl. der Basis [mm] $v_1, \dots, v_k$ [/mm] an. Es gilt [mm] $\ker \varphi_i [/mm] = [mm] L^{\langle \sigma_i \rangle}$ [/mm] und [mm] $\bigcap_{i=1}^k \ker \varphi_i [/mm] = [mm] L^U$.
[/mm]
Wie du die Matrizen von [mm] $\varphi_i$ [/mm] bzgl. den Basen bestimmst ist normalerweise einfach, und Kerne und Schnitte von Untervektorraeumen bestimmen ist auch nicht schwer. Damit erhaelst du schliesslich eine $K$-Basis [mm] $w_1, \dots, w_d$ [/mm] von [mm] $L^U$, [/mm] und somit ist [mm] $L^U [/mm] = [mm] K(w_1, \dots, w_d)$. [/mm] Das kannst du nun in $d - 1$ Schritten (falls $L/K$ separabel ist) in die Form [mm] $L^U [/mm] = [mm] K(\alpha)$ [/mm] bringen mit einem passenden [mm] $\alpha$. [/mm] (Wie das geht siehst du etwa im Beweis des ![[]](/images/popup.gif) Satzes vom primitiven Element.)
> So weit bin ich:
> Es ist [mm]\varphi(12) = 4[/mm] mit der Eulerschen
> [mm]\varphi[/mm]-Funktion. Damit ist [mm]Gal(\IQ(\zeta)/\IQ \cong (\IZ/12\IZ)^{\times} = \{1,5,7,11\}[/mm]
>
> Die echten Untergruppen von[mm](\IZ/12\IZ)^{\times}[/mm] sind
> [mm]U_1:=\{1,5\}, U_2=\{1,7\}, U_3=\{1,11\}[/mm] und daneben die
> zwei trivialen Untergruppen, die natürlich [mm]\IQ[/mm] und
> [mm]\IQ(\zeta)[/mm] entsprechen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nun habe ich versucht die Fixkörper der Untergruppen zu
> bestimmen, indem ich ausprobiert habe. Meine Vermutung
> ist:
> [mm]\IQ(\zeta)^{U_1} = \IQ(\zeta+\zeta^5)[/mm], da [mm]\zeta+\zeta^5[/mm]
> invariant ist unter [mm]U_1\:[/mm]
Da [mm] $\zeta [/mm] + [mm] \zeta^5$ [/mm] invariant unter [mm] $U_1$ [/mm] ist folgt [mm] $\IQ(\zeta [/mm] + [mm] \zeta^5) \subseteq \IQ(\zeta)^{U_1}$. [/mm] Dass beide Koerper gleich sind musst du noch zeigen.
(Tipp: hier reicht ein einfaches Gradargument. Kann [mm] $\IQ(\zeta [/mm] + [mm] \zeta^5) [/mm] = [mm] \IQ$ [/mm] sein? Und was ist [mm] $[\IQ(\zeta)^{U_1} [/mm] : [mm] \IQ]$?)
[/mm]
> [mm]\IQ(\zeta)^{U_3} = \IQ(\zeta+\zeta^{11})[/mm], da
> [mm]\zeta+\zeta^{11}[/mm].
> Zu [mm]U_2\:[/mm] habe ich gar keine Idee.
Na, wie waer's denn mit [mm] $\IQ(\zeta [/mm] + [mm] \zeta^7)$?
[/mm]
LG Felix
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:48 Mo 24.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Sorry, Doppelpost.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Mo 24.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Vielen Dank!
> > [mm]\zeta[/mm] sei primitive 12. Einheitswurzel über [mm]\IQ[/mm]. Bestimme
> > alle Zwischenkörper von [mm]\IQ(\zeta)/\IQ[/mm]
> >
> > ich schaffe es nicht, die Zwischenkörper explizit
> > anzugeben. Gibt es da ein Verfahren?
>
> Klar doch
>
> Wenn du eine Untergruppe [mm]U[/mm] von [mm]Gal(L/K)[/mm] hast, nimmst du dir
> ein Erzeugendensystem [mm]\sigma_1, \dots, \sigma_n[/mm] (hier
> reicht ja [mm]n = 1[/mm]) der Untergruppe [mm]U[/mm] und eine [mm]K[/mm]-Basis von [mm]L[/mm],
> [mm]v_1, \dots, v_k[/mm], und schaust dir die Matrixrepraesentation
> von den [mm]K[/mm]-linearen Homomorphismen [mm]\varphi_i : L \to L[/mm], [mm]x \mapsto \sigma_i(x) - x[/mm]
> bzgl. der Basis [mm]v_1, \dots, v_k[/mm] an. Es gilt [mm]\ker \varphi_i = L^{\langle \sigma_i \rangle}[/mm]
> und [mm]\bigcap_{i=1}^k \ker \varphi_i = L^U[/mm].
>
> Wie du die Matrizen von [mm]\varphi_i[/mm] bzgl. den Basen bestimmst
> ist normalerweise einfach, und Kerne und Schnitte von
> Untervektorraeumen bestimmen ist auch nicht schwer. Damit
> erhaelst du schliesslich eine [mm]K[/mm]-Basis [mm]w_1, \dots, w_d[/mm] von
> [mm]L^U[/mm], und somit ist [mm]L^U = K(w_1, \dots, w_d)[/mm]. Das kannst du
> nun in [mm]d - 1[/mm] Schritten (falls [mm]L/K[/mm] separabel ist) in die
> Form [mm]L^U = K(\alpha)[/mm] bringen mit einem passenden [mm]\alpha[/mm].
> (Wie das geht siehst du etwa im Beweis des
> Satzes vom primitiven Element.)
Schön, dass schau ich mir nochmal in Ruhe an ;)
>
> > So weit bin ich:
> > Es ist [mm]\varphi(12) = 4[/mm] mit der Eulerschen
> > [mm]\varphi[/mm]-Funktion. Damit ist [mm]Gal(\IQ(\zeta)/\IQ \cong (\IZ/12\IZ)^{\times} = \{1,5,7,11\}[/mm]
>
> >
> > Die echten Untergruppen von[mm](\IZ/12\IZ)^{\times}[/mm] sind
> > [mm]U_1:=\{1,5\}, U_2=\{1,7\}, U_3=\{1,11\}[/mm] und daneben die
> > zwei trivialen Untergruppen, die natürlich [mm]\IQ[/mm] und
> > [mm]\IQ(\zeta)[/mm] entsprechen.
>
>
>
> > Nun habe ich versucht die Fixkörper der Untergruppen zu
> > bestimmen, indem ich ausprobiert habe. Meine Vermutung
> > ist:
> > [mm]\IQ(\zeta)^{U_1} = \IQ(\zeta+\zeta^5)[/mm], da [mm]\zeta+\zeta^5[/mm]
> > invariant ist unter [mm]U_1\:[/mm]
>
> Da [mm]\zeta + \zeta^5[/mm] invariant unter [mm]U_1[/mm] ist folgt [mm]\IQ(\zeta + \zeta^5) \subseteq \IQ(\zeta)^{U_1}[/mm].
> Dass beide Koerper gleich sind musst du noch zeigen.
>
> (Tipp: hier reicht ein einfaches Gradargument. Kann
> [mm]\IQ(\zeta + \zeta^5) = \IQ[/mm] sein? Und was ist
> [mm][\IQ(\zeta)^{U_1} : \IQ][/mm]?)
[mm] $[\IQ(\zeta)^{U_1} [/mm] : [mm] \IQ]=\frac{4}{2}=2$, [/mm] da $ord [mm] \: U_1 [/mm] = 2$.
[mm] $\IQ(\zeta [/mm] + [mm] \zeta^5)$ [/mm] kann natürlich nicht [mm] $\IQ$ [/mm] sein, da [mm] $\zeta [/mm] + [mm] \zeta^5 \not\in\IQ$. [/mm] Damit folgt dann, da [mm] $\IQ(\zeta [/mm] + [mm] \zeta^5) \subseteq \IQ(\zeta)^{U_1} (\Rightarrow [\IQ(\zeta [/mm] + [mm] \zeta^5):\IQ] \leq [\IQ(\zeta)^{U_1}:\IQ])$, [/mm] dass [mm] $[\IQ(\zeta [/mm] + [mm] \zeta^5):\IQ]=[\IQ(\zeta)^{U_1}:\IQ]=2$ [/mm] und somit [mm] $\IQ(\zeta [/mm] + [mm] \zeta^5)=\IQ(\zeta)^{U_1}$.
[/mm]
Ok, dann muss ich gar kein Minimalpolynom von [mm] $\zeta [/mm] + [mm] \zeta^5$ [/mm] finden, daran hab ich mich nämlich abgemüht.
>
> > [mm]\IQ(\zeta)^{U_3} = \IQ(\zeta+\zeta^{11})[/mm], da
> > [mm]\zeta+\zeta^{11}[/mm].
>
>
>
> > Zu [mm]U_2\:[/mm] habe ich gar keine Idee.
>
> Na, wie waer's denn mit [mm]\IQ(\zeta + \zeta^7)[/mm]?
Das war auch meine erste Idee, aber wenn [mm] $\zeta [/mm] = [mm] e^{\frac{\pi}{6}i}$, [/mm] dann ist doch [mm] $\zeta [/mm] + [mm] \zeta^7 [/mm] = 0$.
Oder steh ich total auf dem Schlauch?
LG Lippel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:26 Mo 24.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Lippel!
> > > Nun habe ich versucht die Fixkörper der Untergruppen zu
> > > bestimmen, indem ich ausprobiert habe. Meine Vermutung
> > > ist:
> > > [mm]\IQ(\zeta)^{U_1} = \IQ(\zeta+\zeta^5)[/mm], da
> [mm]\zeta+\zeta^5[/mm]
> > > invariant ist unter [mm]U_1\:[/mm]
> >
> > Da [mm]\zeta + \zeta^5[/mm] invariant unter [mm]U_1[/mm] ist folgt [mm]\IQ(\zeta + \zeta^5) \subseteq \IQ(\zeta)^{U_1}[/mm].
> > Dass beide Koerper gleich sind musst du noch zeigen.
> >
> > (Tipp: hier reicht ein einfaches Gradargument. Kann
> > [mm]\IQ(\zeta + \zeta^5) = \IQ[/mm] sein? Und was ist
> > [mm][\IQ(\zeta)^{U_1} : \IQ][/mm]?)
>
> [mm][\IQ(\zeta)^{U_1} : \IQ]=\frac{4}{2}=2[/mm], da [mm]ord \: U_1 = 2[/mm].
>
> [mm]\IQ(\zeta + \zeta^5)[/mm] kann natürlich nicht [mm]\IQ[/mm] sein, da
> [mm]\zeta + \zeta^5 \not\in\IQ[/mm]. Damit folgt dann, da [mm]\IQ(\zeta + \zeta^5) \subseteq \IQ(\zeta)^{U_1} (\Rightarrow [\IQ(\zeta + \zeta^5):\IQ] \leq [\IQ(\zeta)^{U_1}:\IQ])[/mm],
> dass [mm][\IQ(\zeta + \zeta^5):\IQ]=[\IQ(\zeta)^{U_1}:\IQ]=2[/mm]
> und somit [mm]\IQ(\zeta + \zeta^5)=\IQ(\zeta)^{U_1}[/mm].
> Ok, dann muss ich gar kein Minimalpolynom von [mm]\zeta + \zeta^5[/mm]
> finden, daran hab ich mich nämlich abgemüht.
Ja, darauf kannst du verzichten
> > > [mm]\IQ(\zeta)^{U_3} = \IQ(\zeta+\zeta^{11})[/mm], da
> > > [mm]\zeta+\zeta^{11}[/mm].
Das ist uebrigens ein in [mm] $\IR$ [/mm] enthaltender Zwischenkoerper.
> >
> >
> > > Zu [mm]U_2\:[/mm] habe ich gar keine Idee.
> >
> > Na, wie waer's denn mit [mm]\IQ(\zeta + \zeta^7)[/mm]?
>
> Das war auch meine erste Idee, aber wenn [mm]\zeta = e^{\frac{\pi}{6}i}[/mm],
> dann ist doch [mm]\zeta + \zeta^7 = 0[/mm].
Oh, stimmt, da hast du recht.
Um hier weiterzukommen, bestimmst du am besten erstmal das Minimalpolynom von [mm] $\zeta$. [/mm] (Wenn du hier spickst, siehst du, dass es [mm] $X^4 [/mm] - [mm] X^2 [/mm] + 1$ ist.) Damit siehst du, dass [mm] $\zeta^7 [/mm] = [mm] \zeta^5 [/mm] - [mm] \zeta^3 [/mm] = [mm] \zeta^3 [/mm] - [mm] \zeta [/mm] - [mm] \zeta^3 [/mm] = [mm] -\zeta$ [/mm] ist. (Das hast du ja auch schon herausgefunden oben  )
Ist also [mm] $\sigma$ [/mm] der Automorphismus mit [mm] $\sigma(\zeta) [/mm] = [mm] \zeta^7$, [/mm] so ist [mm] $\sigma(1) [/mm] = 1$, [mm] $\sigma(\zeta) [/mm] = [mm] -\zeta$, $\sigma(\zeta^2) [/mm] = [mm] \zeta^2$ [/mm] und [mm] $\sigma(\zeta^3) [/mm] = [mm] -\zeta^3$.
[/mm]
Ein allgemeines Element $x = a + b [mm] \zeta [/mm] + c [mm] \zeta^2 [/mm] + d [mm] \zeta^3 \in \IQ(\zeta)$ [/mm] wird also durch [mm] $\sigma$ [/mm] auf $a - b [mm] \zeta [/mm] + c [mm] \zeta^2 [/mm] - d [mm] \zeta^3$ [/mm] abgebildet. Du siehst also: der Fixkoerper von [mm] $\langle \sigma \rangle$ [/mm] ist [mm] $\{ a + c \zeta^2 \mid a, c \in \IQ \} [/mm] = [mm] \IQ(\zeta^2)$.
[/mm]
LG Felix
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