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| Aufgabe | | Sei f [mm] \in [/mm] D(a,b) , c, d [mm] \in [/mm] (a,b) , f'(c) < y < f'(x). Dann gibt es ein [mm] \psi \in [/mm] (c,d) mit [mm] f'(\psi) [/mm] =y |
Hallo
Ich verstehe den Beweis im SKriptum nicht vollkommen.
Sei g(x) = f(x) - yx.
Da g stetig ist nimmt es zwischen c und d sein Maximum auf [c,d] an, sagen wir, an der Stelle [mm] \psi.
[/mm]
Nachdem g'(c) = f'(c) - y < 0 und g'(d) = f'(d) - y >0 gilt
[mm] \psi \in [/mm] (c,d) mit [mm] g'(\psi)=0=f'(\psi) [/mm] - y
Meine Frage:
Warum folgt: [mm] \psi \in [/mm] (c,d) mit [mm] g'(\psi)=0 [/mm] aus dem obigen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:11 Fr 26.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei f [mm]\in[/mm] D(a,b) , c, d [mm]\in[/mm] (a,b) , f'(c) < y < f'(x).
Du meinst sicher f'(c) < y < f'(d)
> Dann
> gibt es ein [mm]\psi \in[/mm] (c,d) mit [mm]f'(\psi)[/mm] =y
> Hallo
> Ich verstehe den Beweis im SKriptum nicht vollkommen.
>
> Sei g(x) = f(x) - yx.
> Da g stetig ist nimmt es zwischen c und d sein Maximum auf
> [c,d] an, sagen wir, an der Stelle [mm]\psi.[/mm]
> Nachdem g'(c) = f'(c) - y < 0 und g'(d) = f'(d) - y >0
> gilt
> [mm]\psi \in[/mm] (c,d) mit [mm]g'(\psi)=0=f'(\psi)[/mm] - y
>
> Meine Frage:
> Warum folgt: [mm]\psi \in[/mm] (c,d) mit [mm]g'(\psi)=0[/mm] aus dem obigen?
g hat in [mm] \psi \in [/mm] (a,b) ein lokales Maximum, also ist [mm] g'(\psi)=0. [/mm] Damit ist [mm] f'(\psi)=y.
[/mm]
Wegen [mm] \psi \in [/mm] [c,d] und f'(c) < y < f'(x), ist [mm] \psi \in [/mm] (c,d)
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:17 Fr 26.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Fred!
(Ich gehe mal von c<d aus. Das steht zwar nirgendwo, ist aber sicherlich so gemeint.)
> g hat in [mm]\psi \in[/mm] (a,b) ein lokales Maximum,
Bist du da sicher? Warum sollte [mm] $g\colon(a,b)\to\IR$ [/mm] im Falle [mm] $\psi=c$ [/mm] oder [mm] $\psi=d$ [/mm] (der bis dato nicht ausgeschlossen wurde) ein lokales Maximum an der Stelle [mm] $\psi$ [/mm] haben? [mm] $\psi$ [/mm] ist ja globales Maximum nur von [mm] $g|_{[c,d]}$.
[/mm]
Ich glaube, die ganze Argumentation müsste mit einem Minimum statt einem Maximum geführt werden. Dann lässt sich [mm] $\psi=c$ [/mm] und [mm] $\psi=d$ [/mm] mittels $g'(c)<0$ und $g'(d)>0$ ausschließen.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:39 Fr 26.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred!
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> (Ich gehe mal von c<d aus. Das steht zwar nirgendwo, ist
> aber sicherlich so gemeint.)
>
> > g hat in [mm]\psi \in[/mm] (a,b) ein lokales Maximum,
> Bist du da sicher? Warum sollte [mm]g\colon(a,b)\to\IR[/mm] im
> Falle [mm]\psi=c[/mm] oder [mm]\psi=d[/mm] (der bis dato nicht ausgeschlossen
> wurde) ein lokales Maximum an der Stelle [mm]\psi[/mm] haben? [mm]\psi[/mm]
> ist ja globales Maximum nur von [mm]g|_{[c,d]}[/mm].
>
> Ich glaube, die ganze Argumentation müsste mit einem
> Minimum statt einem Maximum geführt werden. Dann lässt
> sich [mm]\psi=c[/mm] und [mm]\psi=d[/mm] mittels [mm]g'(c)<0[/mm] und [mm]g'(d)>0[/mm]
> ausschließen.
Hallo Tobias,
ja, Du hast völlig recht.
Gruß FRED
>
> Viele Grüße
> Tobias
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