Zwischenwertsatz < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:19 Di 20.03.2007 | | Autor: | Momo83 |
Hallo =)
Kann mir von euch vielleicht jemand sagen, wieso es z.B. für den Zwischenwertsatz wichtig ist, dass die Funktion auch in den Endpunkten stetig ist???!???
Danke schon mal für eure Hilfe!
MfG
Monique
P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:30 Di 20.03.2007 | | Autor: | Disap |
Hi,
von welchem Zwischenwertsatz redest du denn? Bei dem ZWS für Ableitungen würde ich mal vermuten, dass die Funktion sonst nicht im Intervall differenzierbar ist.
Bei dem vom Bolzano, dass eine Funktion $f:[a, b] [mm] \to \IR$ [/mm] jeden Wert zwischen f(a) und f(b) annimmt. Da kann die Funktion durchaus jeden Wert annehmen, auch wenn sie nicht stetig ist.
Nimm doch mal die Funktion $f(x) := [mm] \begin{cases} x, & \mbox{für rationales x }\\ 1-x, & \mbox{für irrationales x }\end{cases}$
[/mm]
$(0 [mm] \le x\le1)$
[/mm]
Offensichtlich ist die Fkt. nur an der Stelle 1/2 stetig, aber nimmt trotzdem jeden Wert zwischen f(0)=0 und f(1) = 1 an.
> Hallo =)
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> Kann mir von euch vielleicht jemand sagen, wieso es z.B.
> für den Zwischenwertsatz wichtig ist, dass die Funktion
> auch in den Endpunkten stetig ist???!???
Bei dem ZWS für Ableitungen? Wegen der Differenzierbarkeit? Ist eine Vermutung, daher auch nur eine Mitteilung...
> Danke schon mal für eure Hilfe!
>
> MfG
> Monique
>
> P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
MfG
Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:40 Di 20.03.2007 | | Autor: | Ankh |
> Bei dem vom Bolzano, dass eine Funktion [mm]f:[a, b] \to \IR[/mm]
> jeden Wert zwischen f(a) und f(b) annimmt. Da kann die
> Funktion durchaus jeden Wert annehmen, auch wenn sie nicht
> stetig ist.
>
> Nimm doch mal die Funktion [mm]f(x) := \begin{cases} x, & \mbox{für rationales x }\\ 1-x, & \mbox{für irrationales x }\end{cases}[/mm]
>
> [mm](0 \le x\le1)[/mm]
>
> Offensichtlich ist die Fkt. nur an der Stelle 1/2 stetig,
> aber nimmt trotzdem jeden Wert zwischen f(0)=0 und f(1) = 1
> an.
Ich glaube, die Frage war eher darauf gerichtet, ob für ALLE Funktionen, die im OFFENEN Intervall ]a, b[ stetig sind, auch alle Zwischenwerte a<x<b angenommen werden. Gesucht ist also, denke ich einmal, ein Gegenbeispiel, sonst wäre die Voraussetzung "stetig auf dem geschlossenen Intervall [a, b]" unnötig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:39 Mi 21.03.2007 | | Autor: | Momo83 |
> > Bei dem vom Bolzano, dass eine Funktion [mm]f:[a, b] \to \IR[/mm]
> > jeden Wert zwischen f(a) und f(b) annimmt. Da kann die
> > Funktion durchaus jeden Wert annehmen, auch wenn sie nicht
> > stetig ist.
> >
> > Nimm doch mal die Funktion [mm]f(x) := \begin{cases} x, & \mbox{für rationales x }\\ 1-x, & \mbox{für irrationales x }\end{cases}[/mm]
>
> >
> > [mm](0 \le x\le1)[/mm]
> >
> > Offensichtlich ist die Fkt. nur an der Stelle 1/2 stetig,
> > aber nimmt trotzdem jeden Wert zwischen f(0)=0 und f(1) = 1
> > an.
>
> Ich glaube, die Frage war eher darauf gerichtet, ob für
> ALLE Funktionen, die im OFFENEN Intervall ]a, b[ stetig
> sind, auch alle Zwischenwerte a<x<b angenommen werden.
> Gesucht ist also, denke ich einmal, ein Gegenbeispiel,
> sonst wäre die Voraussetzung "stetig auf dem geschlossenen
> Intervall [a, b]" unnötig.
Ja, genau, die Frage war, warum die Voraussetzung der Stetigkeit auf dem abgeschlossenen Intervall (und eben nicht auf dem offen Intervall) für den ZWS (von Bolzano) notwendig ist, damit der Satz allgemeingültig ist. Trotzdem Danke für deine Reaktion!!! =)
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> Kann mir von euch vielleicht jemand sagen, wieso es z.B.
> für den Zwischenwertsatz wichtig ist, dass die Funktion
> auch in den Endpunkten stetig ist???!???
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
was Du nur mit "z.B. für den Zwischenwertsatz " meinen magst...
Egal - ich denke, daß ich mit der Antwort: "weil es sonst nicht funktioniert" goldrichtig liege.
Nehmen wir zwei Sätze, von denen ich mir vorstellen kann, daß Du die meinst:
1. f:[a,b] --> [mm] \IR [/mm] stetig. Dann nimmt f jeden Wert zwischen f(a) und f(b) an.
Was kann nun passieren, wenn man die Stetigkeit an den Rändern fallen läßt?
Schauen wir ein Beispiel an, die Funktion
[mm] f(x)=\begin{cases} 3, & \mbox{für } x=0 \mbox{ } \\ x, & \mbox{für } x\in ]0,1[ \mbox{}\\ 7, & \mbox{für } x=1 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Du siehst sofort, daß diese Funktion NICHT jeden Wert zwischen f(0)=3 und f(1)=7 annimmt.
2. Mittelwertsatz
f:[a,b] [mm] -->\IR [/mm] stetig und diffbar in ]a,b[.
Dann gibt es ein [mm] z\in [/mm] ]a,b[ mit [mm] f'(z)=\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}
[/mm]
Lassen wir auch hier die Stetigkeit in den Endpunkten des Intervalls fallen.
Betrachte folgende Funktion:
[mm] f(n)=\begin{cases} 2, & \mbox{für } x=5 \mbox{ } \\ \bruch{1}{x}, & \mbox{für } x\in ]5,8[ \mbox{ }\\ 2, & \mbox{für } x=0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
An keiner Stelle dieser Funktion ist die Ableitung =0.
Ich hoffe, daß ich hiermit Deine Frage beantwortet habe.
Es ist überaus sinnvoll, nach dem Grund von Voraussetzungen in Sätzen zu fragen und sich zu überlegen, was ist, wenn diese nicht gelten!
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:35 Mi 21.03.2007 | | Autor: | Momo83 |
Hallo Angela,
erst einmal vielen Dank für deine Antworten! =)
Mit "zum Beispiel" meinte ich, dass die Stetigkeit ja auch für andere Sätze Voraussetzung ist (wie du es mit dem Mittelwertsatz ja selbst auch schon angeführt hast *zwinkernd grins*)
Deine Antworten helfen mir auf jeden Fall praktisch/anschaulich weiter, aber wie könnte man es theoretisch begründen? Warum kann es sein, dass eine Funktion eben nicht jeden Wert zwischen f(a) und f(b) annehmen muss, wenn sie in den Endpunkten nicht stetig ist? Was ist bei der Stetigkeit auf dem offenen Intervall anders im Verhältnis zur Stetigkeit auf dem abgeschlossenen Intervall???
Viele liebe Grüße
Monique
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> Deine Antworten helfen mir auf jeden Fall
> praktisch/anschaulich weiter, aber wie könnte man es
> theoretisch begründen?
Hallo,
mit einem einzigen Gegenbeispiel hast Du bereits einen mathematisch korrekten BEWEIS dafür, daß der Satz ohne die Stetigkeit an den Intervallgrenzen nicht funktioniert.
Ich glaube aber, daß Du auf etwas anderes abhebst, was beim Durcharbeiten von Beweisen auch wichtig fürs Verständnis ist: an welcher Stelle des Beweises kommt die Voraussetzung ins Spiel?
Ich kenne natürlich nicht den Beweis, welcher Dir vorliegt.
Mein Beweis für den ZWS arbeitet mit der Intervallhalbierungsmethode.
Er geht davon aus, daß f(a)<0 und f(b)>0.
Dann wird eine Intervallschachtelung/-halbierung definiert mit folgenden Eigenschaften:
1. [mm] [a_n,b_n] \subset [a_{n-1}, b_{n-1}] \subset [/mm] [a,b]
2. [mm] b_n-a_n=2^{-n}(b-a)
[/mm]
3. [mm] f(a_n)\le [/mm] 0 und [mm] f(b_n) \ge [/mm] 0
Dieser dritte Punkt ist der Casus knacktus im Beweis. Ist die Funktion in den Punkten a,b nicht stetig, so ist die Existenz solcher [mm] a_n, b_n [/mm] nicht gesichert,
so daß das Fortsetzen diese Beweises sinnlos wäre.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 Mi 21.03.2007 | | Autor: | Momo83 |
> Dieser dritte Punkt ist der Casus knacktus im Beweis. Ist
> die Funktion in den Punkten a,b nicht stetig, so ist die
> Existenz solcher [mm]a_n, b_n[/mm] nicht gesichert,
>
> so daß das Fortsetzen diese Beweises sinnlos wäre.
>
> Gruß v. Angela
Hallo und noch mal danke für deine Antwort! *grins*
Aber ich hab da trotzdem noch ne Frage an dich, denn ich steh grad völlig auf dem Schlauch und weiß einfach nicht, warum die Existenz solcher [mm]a_n, b_n[/mm] nicht gesichert ist, wenn f nicht in den Endpunkten a und b stetig ist??? Wär super lieb, wenn du mir das kurz erläutern könntest!? Danke schon mal für alles!
Liebste Grüße
Monique
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> Aund weiß einfach nicht,
> warum die Existenz solcher [mm]a_n, b_n[/mm] nicht gesichert ist,
> wenn f nicht in den Endpunkten a und b stetig ist???
Weil die Funktion da "gerissen" sein könnte.
Es könnte sein, daß f(a)<0 ist, aber die Funktion sonst überall größer als Null.
Das kann nicht passieren, wenn die Funktion stetig ist.
Das [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \vardelta [/mm] - Kriterium für Stetigkeit garantiert uns, daß wir einen weiteren Funktionswert finden, welcher z.B. (für [mm] \varepsilon:=-\bruch{1}{2}f(a)) [/mm] im Intervall [mm] [\bruch{3}{2}f(a),\bruch{1}{2}f(a)] [/mm] liegt, also garantiert [mm] \le [/mm] 0 ist.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:26 Mi 21.03.2007 | | Autor: | Momo83 |
Alles klar, jetzt hab auch ich es endlich verstanden *zwinkernd lach*
Vielen, vielen Dank für deine Hilfe!!! Nun kann ich ein bisschen beruhigter/sicherer in meine Prüfung nächste Woche gehen
Ganz liebe Dankesgrüße
Monique
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