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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:58 Di 12.06.2007 | | Autor: | clover84 |
| Aufgabe | | zu zeigen: Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion f: I [mm] \to \IR, [/mm] I [mm] \subseteq \IR [/mm] genügt dem Zwischenwertsatz. |
Hallo,
ich hab dazu zwar einen Beweis, aber ich weiß leider nicht so recht, ob ich es richtig gelöst habe. Könnte sich bitte jemand meine Beweisführung ansehen?
Beweis:
Sei I=[a,b]
zz: Zu jedem c [mm] \in [/mm] [f'(a),f'(b)] existiert ein [mm] \gamma \in [/mm] I mit [mm] f'(\gamma)=c
[/mm]
1. Fall: f'(a)=f'(b) klar
2.Fall: f'(a)>f'(b)
Sei c mit f'(a)>c>f'(b) beliebig gewählt. Betrachte die Funktion g auf I mit g(x):=f(x)-c*x. Es ist g'(a)=f'(a)-c>0, g'(b)=f'(b)-c<0. Also gilt g(x)>g(a) in einer geeigneten [mm] \varepsilon_{1}-Umgebung [/mm] von a, also in [mm] [a,a+\varepsilon_{1}) [/mm] entsprechend gilt g(x)>g(b) in [mm] (b-\varepsilon_{2},b]. [/mm] Somit nimmt g sein Maximun auf [a,b] in einem Punkt [mm] \gamma \in [a+\varepsilon_{1},(b-\varepsilon_{2}] [/mm] an. Dort gilt [mm] g'(\gamma]=f'(\gamma)-c=0
[/mm]
=> [mm] f'(\gamma)=c
[/mm]
Ist das soweit richtig?? Hab ich > und < richtig gesetzt?
Danke im voraus für die Hilfe.
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Du kannst auch einfach zeigen, dass die Ableitung stetig ist. Damit sind die Voraussetzungen des ZWS erfüllt.
Vergiss es, ist natürlich Quatsch, denn f muss ja nicht stetig diff'bar sein. Kommt davon, wenn man schneller tippt als denkt...
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OK - jetzt zu deiner Argumentation.
Du schließt: Also gilt g(x)>g(a) in einer geeigneten Umgebung von a... Wieso? Setzt du da nicht die Stetigkeit der Ableitung voraus? Und das wäre m.E. ein Zirkelschluss, denn (s.o.) damit wäre die Voraussetzung des ZWS bereits erfüllt.
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