Zwischenwertsatz < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Umfrage) Beendete Umfrage  | | Datum: | 14:35 Sa 27.02.2010 | | Autor: | Ferolei |
| Aufgabe | Sei f: [a,b] [mm] \to \IR [/mm] eine stetige Funktion und sei [mm] y_0 \in\IR [/mm] mit f(a) [mm] \le y_0\le [/mm] f(b) oder [mm] f(a)\ge y_0 \ge [/mm] f(b).
Dann gibt es ein [mm] x_0\in[a,b] [/mm] mit [mm] f(x_0)=y_0
[/mm]
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Hallo zusammen,
für meine mündl. Zwischenprüfung beschäftige ich mich gerade besonders mit den Inhalten über die Sätze der Vorlesung.
Meine Frage nun lautet, was ich denn mit dem Zwischenwertsatz so anstellen kann.
Hier das, was mir so spontan bisher nur dazu einfällt.
Wenn ich zwei Punkte meines Graphen habe, wobei einer der Punkte kleiner unterhalb der x-achse und der andere oberhalb der x-achse liegt, dann muss auf jeden Fall eine Nullstelle dazwischen liegen.
Wenn ich zwei Nullstellen habe, muss dazwischen eine Extrema liegen (was ist hier mit einer Konstanten Funktion?)
Diese beiden Aussagen gelten natürlich nur, weil f stetig ist.
Mehr fällt mir gerade dazu nicht ein. Kann mir da jemand noch Tipps geben?
Liebe Grüße,
Ferolei
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Huhu,
> Wenn ich zwei Punkte meines Graphen habe, wobei einer der
> Punkte kleiner unterhalb der x-achse und der andere
> oberhalb der x-achse liegt, dann muss auf jeden Fall eine
> Nullstelle dazwischen liegen.
Jau.
> Wenn ich zwei Nullstellen habe, muss dazwischen eine
> Extrema liegen (was ist hier mit einer Konstanten
> Funktion?)
Den Satz hattet ihr so bestimmt nicht, der ist nämlich falsch (siehe konst. Funktion).
Schau dir den Satz nochmal genau an und dann erklär mal den Unterschied zwischen dem Satz und deiner Aussage hier.
> Mehr fällt mir gerade dazu nicht ein. Kann mir da jemand
> noch Tipps geben?
Versuch mal zu beweisen: Sei $f:[0,1] [mm] \to [/mm] [0,1]$ stetig, dann hat f in [0,1] einen Fixpunkt.
MFG,
Gono.
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 14:43 Sa 27.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> > Wenn ich zwei Nullstellen habe, muss dazwischen eine
> > Extrema liegen (was ist hier mit einer Konstanten
> > Funktion?)
Ja.
> Den Satz hattet ihr so bestimmt nicht, der ist nämlich
> falsch (siehe konst. Funktion).
Der ist richtig - dann ist jeder Punkt sowohl Maximum als auch Minimum.
SEcki
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 16:48 Sa 27.02.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Stimmt, du hast recht.
Ich hab nochmal nachgeschlagen.
Meine irrige Annahme war, dass die Ungleichung bei Extrema strikt sein muss, muss sie aber gar nicht 
In diesem Fall hast du natürlich recht.
MFG;
Gono.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:50 Sa 27.02.2010 | | Autor: | Ferolei |
Danke für eure Hinweise, aber wirklich neue Erkenntnisse habe ich jetzt nicht gewonnen.
Oder meinst du, dass ich die Erkenntnis gewinne, dass es auf jeden Fall einen Fixpunkt auf meinem abgeschlossenen Intervall gibt?
liebe grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:13 Sa 27.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
> Oder meinst du, dass ich die Erkenntnis gewinne, dass es
> auf jeden Fall einen Fixpunkt auf meinem abgeschlossenen
> Intervall gibt?
Davon gehe ich aus. Ich habe schon von einer mündlichen Vordiplomsprüfung gehört, in der dieser Sachverhalt (mit Hilfestellung) bewiesen werden sollte.
Mir sind noch folgende Anwendungen des Zwischenwertsatzes eingefallen (nach Schwierigkeitsgrad aufsteigend angeordnet):
1. Sei [mm] $f:\IR\to\IR$ [/mm] stetig mit [mm] $\lim_{x\to+\infty}=+\infty$ [/mm] und [mm] $\lim_{x\to-\infty}=-\infty$. [/mm] Dann ist f surjektiv.
2. Sei [mm] $f:I\to\IR$ [/mm] stetig, wobei [mm] $I\subset\IR$ [/mm] ein (eigentliches oder uneigentliches) Intervall sei. Dann ist auch $f(I)$ ein (eigentliches oder uneigentliches) Intervall.
3. Mittelwertsatz der Integralrechnung
Viele Grüße
Tobias
P.S.: Vielleicht kann einer der Moderatoren die Frage als Umfrage deklarieren? Ich gehe mal davon aus, dass der/die Fragensteller(in) an weiteren Ideen interessiert ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:18 Sa 27.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> > Oder meinst du, dass ich die Erkenntnis gewinne, dass es
> > auf jeden Fall einen Fixpunkt auf meinem abgeschlossenen
> > Intervall gibt?
> Davon gehe ich aus. Ich habe schon von einer mündlichen
> Vordiplomsprüfung gehört, in der dieser Sachverhalt (mit
> Hilfestellung) bewiesen werden sollte.
Aber mal ehrlich - selbst ohne Hilfestellung ist eine eher einfachere Frage. Man kann da ganz andere Brummer stellen (Satz vom regulären Wert/Satz über impliziter Funktionen mit Beweis)
> Mir sind noch folgende Anwendungen des Zwischenwertsatzes
> eingefallen (nach Schwierigkeitsgrad aufsteigend
> angeordnet):
> 1. Sei [mm]f:\IR\to\IR[/mm] stetig mit [mm]\lim_{x\to+\infty}=+\infty[/mm]
> und [mm]\lim_{x\to-\infty}=-\infty[/mm]. Dann ist f surjektiv.
> 2. Sei [mm]f:I\to\IR[/mm] stetig, wobei [mm]I\subset\IR[/mm] ein Intervall
> sei. Dann ist auch [mm]f(I)[/mm] ein Intervall.
> 3. Mittelwertsatz der Integralrechnung
Wobei ich 2. fast schwieriger als 3. finde.
> P.S.: Vielleicht kann einer der Moderatoren die Frage als
> Umfrage deklarieren? Ich gehe mal davon aus, dass der/die
> Fragensteller(in) an weiteren Ideen interessiert ist.
Gute Idee.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:38 Sa 27.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> > Ich habe schon von einer mündlichen
> > Vordiplomsprüfung gehört, in der dieser Sachverhalt (mit
> > Hilfestellung) bewiesen werden sollte.
>
> Aber mal ehrlich - selbst ohne Hilfestellung ist eine eher
> einfachere Frage. Man kann da ganz andere Brummer stellen
> (Satz vom regulären Wert/Satz über impliziter Funktionen
> mit Beweis)
Oh, das finde ich wirklich hart. Schon die Fixpunktaussage finde ich zwar an sich nicht zu schwer, aber in einer mündlichen Prüfung ohne großes Nachdenken völlig selbstständig auf die Idee mit der neuen Funktion, auf die der Zwischenwertsatz angewendet werden soll, zu kommen, wenn man diese Idee noch nicht kennt, halte ich schon für schwierig. Da Ferolei eine Zwischenprüfung abzulegen hat, vermute ich mal, dass er/sie auf Lehramt studiert. Dann erwarte ich eher weniger schwierige Fragen. Aber das weiß ich natürlich nicht.
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Hallo,
tobit09: In meiner Zwischenprüfung in der Anfängerveranstaltung für Analysis vor 2 Jahren hatte ich alerdings Fragen von diesem Kaliber.
Also je nach dem würde ich das nicht unbedingt ausschießen. Hängt natürlich von de rUni und vom Prüfer ab. Prüfungsprotokolle helfen da.
lg,
benevonmattheis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:41 Sa 27.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> tobit09: In meiner Zwischenprüfung in der
> Anfängerveranstaltung für Analysis vor 2 Jahren hatte ich
> alerdings Fragen von diesem Kaliber.
> Also je nach dem würde ich das nicht unbedingt
> ausschießen. Hängt natürlich von de rUni und vom Prüfer
> ab. Prüfungsprotokolle helfen da.
Dann kann ich mich der Empfehlung mit den Prüfungsprotokollen des gewählten Prüfers nur anschließen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:25 Sa 27.02.2010 | | Autor: | Ferolei |
Ich bin eine sie :) Und ja, ich studiere auf Lehramt (GHR) und hoffe doch, dass ich sowas nicht gefragt werde :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:24 Sa 27.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Oh, das finde ich wirklich hart. Schon die Fixpunktaussage
> finde ich zwar an sich nicht zu schwer, aber in einer
> mündlichen Prüfung ohne großes Nachdenken völlig
> selbstständig auf die Idee mit der neuen Funktion, auf die
> der Zwischenwertsatz angewendet werden soll, zu kommen,
> wenn man diese Idee noch nicht kennt, halte ich schon für
> schwierig.
Naja, und was, wenn man das in einer Übung gemacht hat? Ich kenne es so: Prüfungstoff ist oft Vorlesunge+Übung. Und manche Prüfer schließen einfach eben nichts aus. Dann noch eins, zwei Verständnisfragen. Ich kenne keinen, der in eine Analysis-Prüfung geht und dies noch nicht gesehn haben sollte.
> Da Ferolei eine Zwischenprüfung abzulegen hat,
> vermute ich mal, dass er/sie auf Lehramt studiert. Dann
> erwarte ich eher weniger schwierige Fragen. Aber das weiß
> ich natürlich nicht.
Man kann die Frage ja stellen, wenn der Prüfling nicht genau weiß, dann gibt man halt den Tip "Betrachten sie f(x)-x! Wie ist das Vorzeichenverhalten?". Ich finde selbst mit Lernen, ist zB der Satz über implizite Funktionen viel aufwendiger und technischer. Was wurdest du denn so gefragt?
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:00 Sa 27.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Naja, und was, wenn man das in einer Übung gemacht hat?
> Ich kenne es so: Prüfungstoff ist oft Vorlesunge+Übung.
> Und manche Prüfer schließen einfach eben nichts aus.
Dann ist das natürlich was anderes.
> Man kann die Frage ja stellen, wenn der Prüfling nicht
> genau weiß, dann gibt man halt den Tip "Betrachten sie
> f(x)-x! Wie ist das Vorzeichenverhalten?".
Genau so etwas meinte ich mit "mit Hilfestellung".
> Ich finde selbst
> mit Lernen, ist zB der Satz über implizite Funktionen viel
> aufwendiger und technischer.
Allerdings!
> Was wurdest du denn so gefragt?
Oh, ist das lange her! Die vermutlich ungewöhnlichste Frage war die nach dem Beweis, dass jeder (nicht notwendig endlich-dimensionale) Vektorraum eine Basis hat, mit allen Details. Aber ich wusste ja vorher, dass sich mein Prüfer für solche Details interessieren würde. Ich hatte ihn mir extra danach ausgewählt, da mir Details mehr als Gesamtzusammenhänge liegen.
Es kommt häufig auf den Prüfer an, was verlangt wird.
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