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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:53 So 21.08.2011 | | Autor: | katrin10 |
Hallo,
ich habe Probleme, den Beweis des Zwischenwertsatzes zu verstehen.
Zwischenwertsatz: Sei a [mm] \le [/mm] b und f: [a,b] [mm] \to \IR [/mm] eine stetige Funktion, so nimmt f jeden Wert zwischen f(a) und f(b) an.
Beweis:
Zunächst haben wir angenommen, dass f(a) [mm] \le [/mm] f(b) gilt. Nun ist zu zeigen, dass es zu jedem y [mm] \in [/mm] [f(a),f(b)] ein [mm] c\in [/mm] [a,b] gibt, sodass f(c)=y.
Sei also nun [mm] y\in [/mm] [f(a),f(b)]. Setze A:={ [mm] x\in[a,b] [/mm] | f(x)=y }
Bedeutet das, dass alle Elemente in A die Bedingung f(x)=y für ein beliebiges, ggf. unterschiedliches y erfüllen, also dass a und b in A sein müssen?
Es gilt, A ist nicht die leere Menge, da [mm] a\in [/mm] A. Bilde B={f(x) | [mm] x\in [/mm] A}. B ist nicht die leere Menge, da A nichtleer ist.
B ist durch y nach oben beschränkt. Also existiert sup A in [mm] \IR. [/mm] Wie im Beweis zur Existenz der Wurzel kann man zeigen, dass y=sup B
Den letzten Absatz verstehe ich nicht. Muss es heißen, dass das Supremum von B statt von A existert?
Nach der Supremumseigenschaft gilt: Für alle n [mm] \in \IN [/mm] existiert ein [mm] a_n \in [/mm] A, sodass y-1/n < [mm] f(a_n) \le [/mm] y
Damit gilt nach dem Sandwich-Theorem: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(a_n)=y. [/mm] Da A beschränkt, gibt es nach Bolzano-Weierstraß konvergente Teilfolge [mm] (a_n_k)_{k\in\IN}
[/mm]
Wir setzen c:= [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} a_n_k
[/mm]
und erhalten:
[mm] f(c)=\limes_{k\rightarrow\infty} f(a_n_k)=\limes_{n\rightarrow\infty} f(a_n)=y
[/mm]
Das letzte Gleichheitszeichen verstehe ich. Warum gelten die ersten beiden Gleichheitszeichen?
Über Hilfe wäre ich sehr dankbar.
Katrin
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> Hallo,
> ich habe Probleme, den Beweis des Zwischenwertsatzes zu
> verstehen.
> Zwischenwertsatz: Sei a [mm]\le[/mm] b und f: [a,b] [mm]\to \IR[/mm] eine
> stetige Funktion, so nimmt f jeden Wert zwischen f(a) und
> f(b) an.
> Beweis:
> Zunächst haben wir angenommen, dass f(a) [mm]\le[/mm] f(b) gilt.
> Nun ist zu zeigen, dass es zu jedem y [mm]\in[/mm] [f(a),f(b)] ein
> [mm]c\in[/mm] [a,b] gibt, sodass f(c)=y.
> Sei also nun [mm]y\in[/mm] [f(a),f(b)]. Setze [mm] $A:=\{ x\in[a,b]| f(x)=y \}$
[/mm]
> Bedeutet das, dass alle Elemente in A die Bedingung f(x)=y
> für ein beliebiges, ggf. unterschiedliches y erfüllen,
> also dass a und b in A sein müssen?
Nein.
So wie es da steht ist A die Menge aller x, für die f(x) = y mit dem vorher (fest!) gewählten y gilt.
Das heißt also für den Beweis des Zwischenwertsatzes müsste man an dieser Stelle zeigen, dass A für alle y nicht die leere Menge ist, also:
[mm] $\forall [/mm] y [mm] \in [/mm] [f(a),f(b)]: A [mm] \not= \emptyset$
[/mm]
Damit wäre gezeigt, dass man zu jedem y ein entsprechendes x findet; was ja genau die Aussage des Zwischenwertsatzes ist.
> Es gilt, A ist nicht die leere Menge, da [mm]a\in[/mm] A.
Das ist erstmal, so wie du da oben definiert hast, falsch.
Könnte es sein, dass $A := [mm] \{ x \in [a,b] | f(x) \leq y \}$ [/mm] ?
Dann sieht das schon eher richtig aus; wobei ich persönlich mich Frage wozu das B gut sein soll.
Das mit [mm] $\leq$ [/mm] definierte A ist nichtleer, beschränkt und (wenn mich nicht alles täuscht mit Folgenkriterium für Stetigkeit recht schön zeigbar) abgeschlossen.
Also schau am besten nochmal nach wie genau die Menge A definiert war und ob/wo man die Menge B wirklich braucht.
MfG
Schadowmaster
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:41 So 21.08.2011 | | Autor: | katrin10 |
Vielen Dank für die schnelle Antwort.
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