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Zyklische Gruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:48 Di 16.10.2018
Autor: ichbinteich

Aufgabe
Es sei G eine Gruppe. Angenommen G besitzt eine echte Untergruppe H, die jede
andere echte Untergruppe von G enthält. Zeigen Sie, dass G dann zyklisch ist und
die Ordnung von G eine Primpotenz.

Hallo zusammen,

ich bräuchte bitte einmal dringend Hilfe bei der oben angegeben Aufgabe. Habe da heute und gestern schon die ein oder andere Minute dran gesessen und bekomme einfach nicht den nötigen Geistesblitz.

Die Tatsache, dass es eine größte echte Teilgruppe heißt ja, dass (U [mm] \backslash [/mm] G)  [mm] \not=\emptyset [/mm] ist. Wieso sagt mir das aber nun, dass [mm] \exists [/mm] g [mm] \varepsilon [/mm] G sodass g die gesamte Gruppe erzeugt? (Definition einer zyklischen Gruppe)

Zum zweiten Teil habe ich bisher noch keinen richtigen Zugang gefunden.

Vielen Dank im Voraus!!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Zyklische Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:44 Do 18.10.2018
Autor: felixf

Moin

> Es sei G eine Gruppe. Angenommen G besitzt eine echte
> Untergruppe H, die jede
>  andere echte Untergruppe von G enthält. Zeigen Sie, dass
> G dann zyklisch ist und
>  die Ordnung von G eine Primpotenz.
>  
> ich bräuchte bitte einmal dringend Hilfe bei der oben
> angegeben Aufgabe. Habe da heute und gestern schon die ein
> oder andere Minute dran gesessen und bekomme einfach nicht
> den nötigen Geistesblitz.
>
> Die Tatsache, dass es eine größte echte Teilgruppe heißt
> ja, dass (U [mm]\backslash[/mm] G)  [mm]\not=\emptyset[/mm] ist. Wieso sagt

Was ist $U$?

> mir das aber nun, dass [mm]\exists[/mm] g [mm]\varepsilon[/mm] G sodass g die
> gesamte Gruppe erzeugt? (Definition einer zyklischen
> Gruppe)

Nimm ein Element aus $G [mm] \setminus [/mm] H$ (gibt es ja, da $H$ eine echte Untergruppe ist). Was kannst du über die von $g$ erzeugte Untergruppe von $G$ aussagen?

LG Felix


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