Zyklische Gruppe, Untergruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Untergruppen von zyklischen Gruppen, sind zyklisch. |
Hallo,
ich möchte diese Aussage beweisen, da sie im Skript nicht bewiesen wurde.
Mein Beweis sieht so aus:
Sei $G$ eine zyklische Gruppe und [mm] $U\subseteq [/mm] G$ eine Untergruppe.
Für [mm] $U=\{e\}$ [/mm] ist die Aussage trivial. Sei also [mm] $U\neq\{e\}$.
[/mm]
Da $G$ eine zyklische Gruppe ist, gibt es ein [mm] $a\in [/mm] G$ mit [mm] $\langle a\rangle=G=\{a^n,n\in\mathbb{Z}\}$.
[/mm]
Sei [mm] $a^d\in [/mm] U$ mit $0<d$ minimal. Sei [mm] $a^l\in [/mm] U$ beliebig. Dann ist $l=cd+r$ (Division mit Rest), mit [mm] $0\leq [/mm] r<d$.
Dann ist [mm] $a^l=a^{cd+r}=a^{cd}a^r\in [/mm] U$. Also [mm] $a^r\in [/mm] U$. Dann muss $r=0$ sein, da $d$ minimal gewählt war. Also [mm] $a^l=a^{cd}$. [/mm] Somit ist [mm] a^d [/mm] ein Erzeuger von $U$, und $U$ somit zyklisch.
Über eine Bemerkung zu dem Beweis würde ich mich freuen.
Vielen Dank im voraus.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:51 Mi 13.07.2016 | | Autor: | fred97 |
> Untergruppen von zyklischen Gruppen, sind zyklisch.
> Hallo,
>
> ich möchte diese Aussage beweisen, da sie im Skript nicht
> bewiesen wurde.
> Mein Beweis sieht so aus:
>
> Sei [mm]G[/mm] eine zyklische Gruppe und [mm]U\subseteq G[/mm] eine
> Untergruppe.
> Für [mm]U=\{e\}[/mm] ist die Aussage trivial. Sei also [mm]U\neq\{e\}[/mm].
>
> Da [mm]G[/mm] eine zyklische Gruppe ist, gibt es ein [mm]a\in G[/mm] mit
> [mm]\langle a\rangle=G=\{a^n,n\in\mathbb{Z}\}[/mm].
>
> Sei [mm]a^d\in U[/mm] mit [mm]0
> ist [mm]l=cd+r[/mm] (Division mit Rest), mit [mm]0\leq r
> Dann ist [mm]a^l=a^{cd+r}=a^{cd}a^r\in U[/mm]. Also [mm]a^r\in U[/mm]. Dann
> muss [mm]r=0[/mm] sein, da [mm]d[/mm] minimal gewählt war. Also [mm]a^l=a^{cd}[/mm].
> Somit ist [mm]a^d[/mm] ein Erzeuger von [mm]U[/mm], und [mm]U[/mm] somit zyklisch.
>
>
> Über eine Bemerkung zu dem Beweis würde ich mich freuen.
Der Beweis ist O.K. Für meinen Geschmack sollstest Du noch ein paar Worte spendieren, warum [mm]a^r\in U[/mm] ist.
FRED
> Vielen Dank im voraus.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:07 Mi 13.07.2016 | | Autor: | hippias |
... und erläutern, weshalb es überhaupt ein positives $d$ mit [mm] $a^{d}\in [/mm] U$ gibt.
|
|
|
| |
|
> Für meinen Geschmack sollstest Du noch ein paar Worte spendieren, warum $ [mm] a^r\in [/mm] U $ ist.
[mm] $a^r\in [/mm] U$ gilt, weil [mm] $a^{cd+r}\in [/mm] U$. Wenn [mm] $a^r\notin [/mm] U$ wäre, dann wäre auch [mm] $a^{cd+r}=a^{cd}a^r\notin [/mm] U$, wegen der Abgeschlossenheit.
> und erläutern, weshalb es überhaupt ein positives $ d $ mit $ [mm] a^{d}\in [/mm] U $ gibt.
Das sollte ohne Einschränkung "klar" sein. Entweder gibt es ein minimals positives $d$ für das [mm] $a^d\in [/mm] U$, oder es gibt ein maximales negatives $d<0$ mit [mm] $a^d\in [/mm] U$
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:33 Mi 13.07.2016 | | Autor: | fred97 |
> > Für meinen Geschmack sollstest Du noch ein paar Worte
> spendieren, warum [mm]a^r\in U[/mm] ist.
>
> [mm]a^r\in U[/mm] gilt, weil [mm]a^{cd+r}\in U[/mm]. Wenn [mm]a^r\notin U[/mm] wäre,
> dann wäre auch [mm]a^{cd+r}=a^{cd}a^r\notin U[/mm], wegen der
> Abgeschlossenheit.
Diese "Begründung" gefällt mir nicht !
FRED
>
>
> > und erläutern, weshalb es überhaupt ein positives [mm]d[/mm] mit
> [mm]a^{d}\in U[/mm] gibt.
>
> Das sollte ohne Einschränkung "klar" sein. Entweder gibt
> es ein minimals positives [mm]d[/mm] für das [mm]a^d\in U[/mm], oder es gibt
> ein maximales negatives [mm]d<0[/mm] mit [mm]a^d\in U[/mm]
|
|
|
| |
|
> Diese "Begründung" gefällt mir nicht !
Weil sie falsch ist, bzw. den Kern der Sache nicht trifft, oder weil ich es nicht ausreichend formuliert habe?
Ich weiß, dass [mm] $a^{cd+r}\in [/mm] U$. Es ist [mm] $a^{cd+r}=\underbrace{a^{cd}}_{\in U}\underbrace{a^r}_{\in U}$. [/mm] Andernfalls würde es einen Widerspruch zur Abgeschlossenheit geben.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:04 Mi 13.07.2016 | | Autor: | fred97 |
> > Diese "Begründung" gefällt mir nicht !
>
> Weil sie falsch ist, bzw. den Kern der Sache nicht trifft,
> oder weil ich es nicht ausreichend formuliert habe?
>
> Ich weiß, dass [mm]a^{cd+r}\in U[/mm]. Es ist
> [mm]a^{cd+r}=\underbrace{a^{cd}}_{\in U}\underbrace{a^r}_{\in U}[/mm].
> Andernfalls würde es einen Widerspruch zur
> Abgeschlossenheit geben.
Es fehlt ein Argument:
Wir haben: [mm]a^{cd+r}\in U[/mm] und [mm] $a^{cd} \in [/mm] U$.
Jetzt kommts: dann ist auch [mm] $a^{-cd}=(a^{cd})^{-1}\in [/mm] U$.
Wegen der Abgeschlossenheit von U haben wir dann
[mm] $a^r=a^{cd+r}*a^{-cd} \in [/mm] U$
Ist Dir jetzt klar, was ich zu meckern hatte ?
FRED
|
|
|
| |
|
> Ist Dir jetzt klar, was ich zu meckern hatte ?
Jein...
Mir ist natürlich klar, dass dein Argument verständlicher ist und es klar macht, warum es gilt.
Aber gibt es etwa ein Gegenbeispiel dafür, dass meine Begründung noch nicht ausreichend ist?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 Mi 13.07.2016 | | Autor: | fred97 |
> > Ist Dir jetzt klar, was ich zu meckern hatte ?
>
> Jein...
> Mir ist natürlich klar, dass dein Argument
> verständlicher ist und es klar macht, warum es gilt.
> Aber gibt es etwa ein Gegenbeispiel dafür, dass meine
> Begründung noch nicht ausreichend ist?
Gegenbeispiel ? Was soll das ? Mir hat einfach gefehlt:
mit $ [mm] a^{cd} \in [/mm] U $ ist auch $ [mm] a^{-cd}=(a^{cd})^{-1}\in [/mm] U $
FRED
|
|
|
|
