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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Zyklische Gruppe, Untergruppe
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Zyklische Gruppe, Untergruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:14 Sa 01.01.2011
Autor: Lippel

Aufgabe
Sei G eine zyklische Gruppe endlicher Ordnung und seien $a,b [mm] \in [/mm] G$. Dann ist die von a und b in G erzeugte Untergruppe von der Odrnung $kgV(ord a, ordb)$.

Hallo,

ich komme bei der Aufgabe leider nicht so richtig weiter.
Aber immerhin hatte ich Ideen:
Da G endlich ist auch $<a,b>$ endlich und $<a>$ und $<b>$ sind Untergruppen von $<a,b>$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] nach dem Satz von Lagrange gilt also $ord [mm] \: [/mm] a [mm] \; [/mm] | [mm] \; [/mm] ord<a,b>$ und $ord [mm] \: [/mm] b [mm] \; [/mm] | [mm] \; [/mm] ord<a,b>$
[mm] $\Rightarrow [/mm] kgV(ord [mm] \: [/mm] a, ord [mm] \: [/mm] b) [mm] \; [/mm] | [mm] \; [/mm] ord [mm] \: [/mm] a$
[mm] $\Rightarrow [/mm] ord<a,b> [mm] \geq [/mm] kgV(ord [mm] \: [/mm] a, ord [mm] \: [/mm] b)$
Kann man hiermit weiterarbeiten?

Ein anderer Ansatz:
Da G zyklisch existiert $x [mm] \in [/mm] G$, sodass $G = <x>$, also auch $m,n [mm] \in \IN: a=x^m, b=x^n$. [/mm] Ich vermute nun dass $<a,b> = [mm] $ [/mm] gilt, kann das aber auch nicht zeigen.
Bringt dieser Ansatz weiter?

Vielen Dank für eure Hilfe.

Viele Grüße, Lippel

        
Bezug
Zyklische Gruppe, Untergruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:38 Sa 01.01.2011
Autor: Gonozal_IX

Huhu,

deine Überlegungen sind gut, um sich einiges klar zu machen, führen aber kaum zum Ziel.
So nebenbei


> [mm]\Rightarrow kgV(ord \: a, ord \: b) \; | \; ord \: a[/mm]

Ist falsch. Dreh es um, aber das gilt trivialerweise :-)

Zeige zuerst:

1.) <a,b> ist zyklisch mit endlicher Ordnung (hast du ja schon halb)

2.) [mm] $||\big| [/mm] kgV(ord(a),ord(b))$ (auch schnell gezeigt)

3.) [mm] $(ab)^k [/mm] = e [mm] \Rightarrow [/mm] k [mm] \ge [/mm] kgV(ord(a),ord(b))

Und aus 3.) folgt dann $kgV(ord(a),ord(b)) [mm] \big| [/mm] |<a,b>|$

und mit 2.) dann sofort $|<a,b>| = kgV(ord(a),ord(b))$

MFG,
Gono.

Bezug
                
Bezug
Zyklische Gruppe, Untergruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:59 Sa 01.01.2011
Autor: Lippel

Hallo, vielen Dank für deine Antwort!
>  
> deine Überlegungen sind gut, um sich einiges klar zu
> machen, führen aber kaum zum Ziel.
>  So nebenbei
>
>
> > [mm]\Rightarrow kgV(ord \: a, ord \: b) \; | \; ord \: a[/mm]

Oh, da hatte ich mich vertippt, ich meinte [mm]\Rightarrow kgV(ord \: a, ord \: b) \; | \; ord \: [/mm]
Das kann ich doch aus $ord [mm] \: [/mm] a \ | [mm] \; [/mm] ord [mm] \: [/mm] <a,b>$ und $ord [mm] \:b \; [/mm] | <a,b>$ folgern oder? Das kgV von $ord [mm] \: [/mm] a$ und $ord [mm] \: [/mm] b$ teilt jedes weitere Vielfache der beiden Größen, also auch $ord [mm] \: [/mm] <a,b>$
Damit hätte ich ja dann schon gezeigt, was du aus 3. folgerst, oder?

>  
> Zeige zuerst:
>  
> 1.) <a,b> ist zyklisch mit endlicher Ordnung (hast du ja
> schon halb)

Jede Untergruppe einer zyklischen Gruppe ist wieder zyklisch. Außerdem ist G endlich, also ist auch jede Untergruppe von endlicher Ordnung. Oder?

>  
> 2.) [mm]||\big| kgV(ord(a),ord(b))[/mm] (auch schnell gezeigt)

Hier finde ich keinen Ansatz, kann mir nochmal jemand einen Tipp geben?

>  
> 3.) [mm]$(ab)^k[/mm] = e [mm]\Rightarrow[/mm] k [mm]\ge[/mm] kgV(ord(a),ord(b))
>  
> Und aus 3.) folgt dann [mm]kgV(ord(a),ord(b)) \big| ||[/mm]
>  
> und mit 2.) dann sofort [mm]|| = kgV(ord(a),ord(b))[/mm]
>  

Viele Grüße, Lippel

Bezug
                        
Bezug
Zyklische Gruppe, Untergruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:47 So 02.01.2011
Autor: Gonozal_IX

Huhu,

> Das kann ich doch aus [mm]ord \: a \ | \; ord \: [/mm] und [mm]ord \:b \; | [/mm]
> folgern oder? Das kgV von [mm]ord \: a[/mm] und [mm]ord \: b[/mm] teilt jedes
> weitere Vielfache der beiden Größen, also auch [mm]ord \: [/mm]

nunja, du hast schon recht
Es gilt: $a|c, b|c [mm] \Rightarrow [/mm] kgV(a,b)|c$
Die Frage ist halt nur, ob du das noch zeigen musst, oder benutzen darfst :-)

> Damit hätte ich ja dann schon gezeigt, was du aus 3.
> folgerst, oder?

Ja.

> > 1.) <a,b> ist zyklisch mit endlicher Ordnung (hast du ja
> > schon halb)
>  
> Jede Untergruppe einer zyklischen Gruppe ist wieder
> zyklisch. Außerdem ist G endlich, also ist auch jede
> Untergruppe von endlicher Ordnung. Oder?

naja, das "oder?" ist hier die Frage aller Fragen ;-)
Dass jede Untergruppe endlich ist, ist trivial.
Entweder ihr habt schon gezeigt, dass jede UG einer zyklischen Gruppe zyklisch ist, oder du musst es hier noch zeigen.

> > 2.) [mm]||\big| kgV(ord(a),ord(b))[/mm] (auch schnell gezeigt)
>  Hier finde ich keinen Ansatz, kann mir nochmal jemand
> einen Tipp geben?

Betrachte mal [mm] $(ab)^{kgv(ord(a),ord(b)}$. [/mm]


MFG,
Gono.

Bezug
                                
Bezug
Zyklische Gruppe, Untergruppe: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 02:53 Mo 03.01.2011
Autor: Lippel

Hallo, danke für deine Antwort!

> > Das kann ich doch aus [mm]ord \: a \ | \; ord \: [/mm] und [mm]ord \:b \; | [/mm]
> > folgern oder? Das kgV von [mm]ord \: a[/mm] und [mm]ord \: b[/mm] teilt jedes
> > weitere Vielfache der beiden Größen, also auch [mm]ord \: [/mm]
>  
> nunja, du hast schon recht
>  Es gilt: [mm]a|c, b|c \Rightarrow kgV(a,b)|c[/mm]
>  Die Frage ist
> halt nur, ob du das noch zeigen musst, oder benutzen darfst
> :-)

Stimmt, aber das [mm] $\IZ$ [/mm] ja faktoriell ist, kann man das mithilfe der Primfaktorzerlegung der Elemente und der Darstellung des kgV über die Primfaktoren von a und b noch zeigen.

>  
> > Damit hätte ich ja dann schon gezeigt, was du aus 3.
> > folgerst, oder?
>  
> Ja.
>  
> > > 1.) <a,b> ist zyklisch mit endlicher Ordnung (hast du ja
> > > schon halb)
>  >  
> > Jede Untergruppe einer zyklischen Gruppe ist wieder
> > zyklisch. Außerdem ist G endlich, also ist auch jede
> > Untergruppe von endlicher Ordnung. Oder?
>  
> naja, das "oder?" ist hier die Frage aller Fragen ;-)
>  Dass jede Untergruppe endlich ist, ist trivial.
>  Entweder ihr habt schon gezeigt, dass jede UG einer
> zyklischen Gruppe zyklisch ist, oder du musst es hier noch
> zeigen.
>

Das haben wir gezeigt.

> > > 2.) [mm]||\big| kgV(ord(a),ord(b))[/mm] (auch schnell gezeigt)
>  >  Hier finde ich keinen Ansatz, kann mir nochmal jemand
> > einen Tipp geben?
>  
> Betrachte mal [mm](ab)^{kgv(ord(a),ord(b)}[/mm].

[mm](ab)^{kgv(ord(a),ord(b))} = a^{kgv(ord(a),ord(b))}b^{kgv(ord(a),ord(b))} = 1[/mm]
Damit habe ich gezeigt $|<ab>| [mm] \; [/mm] | [mm] \: [/mm] kgv(ord(a),ord(b)$.
Aber ich will doch eine Aussage über $|<a,b>|$. Besteht da eine Beziehung? (Steh ich sehr auf dem Schlauch?!?)

Viele Grüße, Lippel

Bezug
                                        
Bezug
Zyklische Gruppe, Untergruppe: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 03:20 Do 06.01.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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