Zyklische Gruppen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 05:50 Mo 24.10.2016 | | Autor: | hamade9 |
| Aufgabe | | Sei G eine endliche Gruppe mit neutralem Element e. Außerdem sei G noch zyklisch. Zeige: Für jedes g [mm] \in [/mm] G existiert ein n [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] g^n [/mm] = e. |
Hey Leute,
ich bräuchte nochmal eure Hilfe auf die oben gestellte Aufgabe. Was ich mir dachte wäre:
Wir wissen G ist zyklisch, d.h. alle Elemente aus G werden von einem Element erzeugt. Wir nehmen an das Element sei a [mm] \in [/mm] G. Dann wissen wir, dass die zyklische Gruppe endlich ist, sprich: Jedes Element g [mm] \in [/mm] G besitzt eine Ordnung ord(g) < [mm] \infty. [/mm]
Ich würde beim Beweis einfach nun so vorgehen, dass ich zeige dass jedes Element aus g eine Ordnung kleiner als [mm] \infty [/mm] besitzt, aber wie mach ich das? Hier fehlt mir leider der Ansatz und ich hoffe jemand von euch könnte mir vielleicht helfen.
Hoffe ihr konnten mir soweit folgen.
Hamade9
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:43 Mo 24.10.2016 | | Autor: | fred97 |
> Sei G eine endliche Gruppe mit neutralem Element e.
> Außerdem sei G noch zyklisch. Zeige: Für jedes g [mm]\in[/mm] G
> existiert ein n [mm]\in \IN[/mm] mit [mm]g^n[/mm] = e.
>
> Hey Leute,
>
> ich bräuchte nochmal eure Hilfe auf die oben gestellte
> Aufgabe. Was ich mir dachte wäre:
> Wir wissen G ist zyklisch, d.h. alle Elemente aus G werden
> von einem Element erzeugt. Wir nehmen an das Element sei a
> [mm]\in[/mm] G. Dann wissen wir, dass die zyklische Gruppe endlich
> ist, sprich: Jedes Element g [mm]\in[/mm] G besitzt eine Ordnung
> ord(g) < [mm]\infty.[/mm]
> Ich würde beim Beweis einfach nun so vorgehen, dass ich
> zeige dass jedes Element aus g eine Ordnung kleiner als
> [mm]\infty[/mm] besitzt, aber wie mach ich das? Hier fehlt mir
> leider der Ansatz und ich hoffe jemand von euch könnte mir
> vielleicht helfen.
>
> Hoffe ihr konnten mir soweit folgen.
Ich denke schon ....
Sei m die Anzahl der Elemente von G.
Wenn m=1 ist, wie sieht G dann aus ?
Sei m>1. Dann:
[mm] $e=g^0,g^1,g^2, [/mm] ...., [mm] g^m, g^{m+1},.... \in [/mm] G$.
Da G endlich ist gibt es i,j [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] g^i=g^j.
[/mm]
Du kannst von i>j ausgehen. Jetzt Du.
>
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> Hamade9
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:48 Di 25.10.2016 | | Autor: | hamade9 |
Naja ist m gleich der Anzahl der Elemente aus G und m=1, dann besteht G nur aus dem neutralem Element e und da ist es ja soweit klar, dass ein n existiert (n=1).
Sei jetzt, wie du schon gesagt hast n > 1:
Es gibt ein i, j [mm] \in \IN [/mm] für das gilt [mm] g^i [/mm] = [mm] g^j [/mm] (Das liegt daran dass die Gruppe zyklisch ist oder?)
Ich verstehe aber jetzt immernoch nicht wie ich vorzugehen habe :S
Hoffe du kannst mir noch einen kleinen Hinweis geben. :))
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:27 Di 25.10.2016 | | Autor: | hippias |
Freds Ansatz benötigt die Voraussetzung, dass die Gruppe zyklisch ist nicht; denn die Aussage gilt für alle endlichen Gruppen. Vielleicht hat sich jemand gedacht, dass es mit der Zyklizität einfacher zu beweisen ist.
Ich möchte zuerst Freds Gedankengang aufgreifen. Du sollst die Folge $1= [mm] g^{0},\ldots, g^{m}, g^{m+1},\ldots$ [/mm] betrachten.
1. Warum können nicht alle Folgeglieder verschieden sein?
2. Daher gibt es [mm] $i,j\in \IN_{0}$ [/mm] mit $i< j$ so, dass [mm] $g^{i}= g^{j}$ [/mm] ist.
3. Sagen wir mal es ist [mm] $g^{5}= g^{8}$. [/mm] Wieso folgt damit [mm] $g^{3}=1$? [/mm] Verallgemeinere dies auf 2.
Nun noch ein Ansatz, der nur für zyklische Gruppen funktioniert.
Sei $x$ ein Erzeuger von $G$ mit Ordnung $m$ und sei [mm] $i\in \IZ$. [/mm] Was ergibt [mm] $\left(x^{i}\right)^{m}$?
[/mm]
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