Zyklische Matrize < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:17 Sa 19.04.2008 | | Autor: | Rutzel |
| Aufgabe | Zeige, dass die Matrix zyklisch ist.
A:= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 1
\\ 0 & 1 & 1 & 0
\\ 1 & 1 & 0 & 0
\\ 0 & 0 & 1 & 0} [/mm] |
Hallo, wir haben definiert:
[mm] \phi [/mm] ist zyklisch, falls ein v [mm] \in [/mm] V existiert mit
[mm] Spann(v,\phi(v),\phi^2(v),...,\phi^k(v))=V
[/mm]
da ich kein v gefunden habe, welches V erzeugt, habe ich erstmal das charakteristische Polynom von A ausgerechnet, um dann die Begleitmatrix (oder auch rationale kanonische Matrix) zu bestimmen:
B:= [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & -1
\\ 1 & 0 & 0 & 0
\\ 0 & 1 & 0 & 0
\\ 0 & 0 & 1 & 2}
[/mm]
Angenommen, A hat die Standardbasis zur Basis. B ist ja nur durch Basiswechsel aus A entstanden. Es müsste dann doch möglich sein, den ersten Basisvektor von B zu bestimmen. Nur komme ich hier auf keinen grünen Zweig.
Lässt es sich evtl. direkt zeigen, dass A zyklisch ist? (d.h. nicht über den Umweg über die Begleitmatrix. Die Begleitmatrix soll ich eigentlich erst aufstellen, nachdem ich gezeigt habe, dass A zyklisch ist, und dann aus B das charakteristische Polynom ablesen. D.h. ich habe jetzt die ganze Aufgabe von hinten aufgerollt, weil ich keine bessere Idee hatte)
Gruß,
Rutzel (der nicht wüsste, was er ohne den Matheraum machen sollte  )
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:37 So 20.04.2008 | | Autor: | andreas |
hi
so wie ich das sehe, sollte es klappen zu zeigen, dass die matrix zyklisch bezüglich $v = (1, 0, 0, [mm] 0)^t$ [/mm] ist. berechne doch mal [mm] $\textrm{spann} [/mm] (v, Av, A^2v, A^3v)$.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:16 So 20.04.2008 | | Autor: | Rutzel |
Hallo,
müssten aber die Basiselemente nicht auch 4 [mm] \times [/mm] 4 Matrizen sein, und damit auch v eine 4 [mm] \times [/mm] 4 Matrize?
Oder reicht es ein Element aus [mm] \IR^4 [/mm] (also eben z.B. dein Vorgeschlagener Vektor v) als Basis für den Raum der 4 [mm] \times [/mm] 4 Matrizen zu nehmen, da die beiden Räume isomorph sind?
Edit:
Ansonsten funktioniert das mit der von dir genannten Basis. D.h. wenn ich die Matrix aus der Aufgabe bezüglich deiner Basis darstelle, kommt die Begleitmatrix raus.
Allerding bin ich jetzt ziemlich durcheinander gekommen, mit den Basen. Warum können auch Spaltenvektoren Basen von Matrizenräumen sein? *kopfKratz*
Edit 2: Achso, ich glaube eben ging mir ein Licht auf. Mit der Definition von "zyklisch", muss ich die Matrix ja als Endomorphismus auf [mm] \IR^4 [/mm] betrachten. Somit sind natürlich auch die Basiselemente aus [mm] \IR^4. [/mm] (!?)
Gruß,
Rutzel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:24 So 20.04.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Edit 2: Achso, ich glaube eben ging mir ein Licht auf. Mit
> der Definition von "zyklisch", muss ich die Matrix ja als
> Endomorphismus auf [mm]\IR^4[/mm] betrachten. Somit sind natürlich
> auch die Basiselemente aus [mm]\IR^4.[/mm] (!?)
genau so ist es. du musst beachten, dass hier $V = [mm] \mathbb{R}^4$ [/mm] und das [mm] $\phi$ [/mm] aus deiner definition von zyklisch der von der matrix $A$ induzierte endomorphismus von $V$ ist.
grüße
andreas
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