Zyklische Untergruppen normal < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:36 Do 29.11.2012 | | Autor: | AntonK |
Hallo Leute,
habe mal eine formale Frage und zwar.
Sei G eine nichtabelsche Gruppe.
Wenn ich nun, ein Element aus g nehme und damit eine zyklische Untergruppe aufmache <g> ist diese da zyklisch auch abelsch, geht das überhaupt, wenn G nicht abelsch ist?
Und noch eine Frage:
Ist jede Zyklische Untergruppe ein Normalteiler von G?
Auch wenn G nichtabelsch ist?
Danke schonmal.
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moin,
> Wenn ich nun, ein Element aus g nehme und damit eine
> zyklische Untergruppe aufmache <g> ist diese da zyklisch
> auch abelsch, geht das überhaupt, wenn G nicht abelsch
> ist?
Ja, zyklische Gruppen sind immer Abelsch, egal in welcher anderen Gruppe sie drinstecken mögen.
> Und noch eine Frage:
>
> Ist jede Zyklische Untergruppe ein Normalteiler von G?
>
> Auch wenn G nichtabelsch ist?
Nein, das gilt im Allgemeinen nicht.
Hierfür kannst du dir selbst recht einfach ein Gegenbeispiel bauen:
Nimm die [mm] $S_3$ [/mm] und eine zyklische Untergruppe mit 2 Elementen; du wirst feststellen, dass diese kein Normalteiler ist.
Die Bedingung hier gilt einzig anders herum:
Ist $G$ eine Abelsche Gruppe, so ist jede Untergruppe von $G$ auch ein Normalteiler.
lg
Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:46 Do 29.11.2012 | | Autor: | AntonK |
Ah, verstehe, danke :D
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